Une structure mathématique qui attribue des significations aux symboles d'un langage formel (une signature) — un domaine muni d'interprétations pour les constantes, fonctions et relations — de sorte que les phrases du langage puissent y être évaluées comme vraies ou fausses.

Principe

Un modèle réalise syntaxiquement le langage de façon sémantique : chaque constante désigne un élément, chaque symbole de fonction désigne une fonction concrète sur le domaine, et chaque symbole de relation désigne une relation ; la satisfaction des phrases est déterminée par ces interprétations selon la sémantique de Tarski.

Démonstration

Un groupe (G, ·, e) considéré comme une structure du premier ordre a pour domaine G, interprète le symbole binaire · par l'opération de groupe et la constante e par l'élément neutre ; des phrases exprimant l'associativité ou l'existence d'inverses évaluent à vrai dans ce modèle.

Mauvaise application

Confondre le modèle avec son ensemble sous-jacent ou traiter des modèles isomorphes comme identiques sans tenir compte de l'interprétation des symboles ; autre mauvaise utilisation : supposer qu'un homomorphisme d'algèbres préserve la vérité de toutes les formules du premier ordre (ce n'est pas nécessairement le cas — seules les plongements élémentaires le font).

Conséquence

Les modèles permettent des questions sémantiques directes : si une phrase est vérifiée, si des types sont réalisés, et comment les structures se relient via homomorphismes, plongements et isomorphismes ; un usage correct donne des réalisations concrètes de théories et des contre-exemples à des conjectures.

Inversion

L'inversion met l'accent sur la perspective syntaxique : au lieu d'une structure concrète, on peut travailler avec la théorie de cette structure (l'ensemble des phrases vraies en elle) ; cela inverse la direction en allant de l'objet sémantique à sa description syntaxique.

Limite

Un modèle suppose une signature fixée et la sémantique du premier ordre ; il exclut la sémantique non standard sauf si l'on étend explicitement la notion (par exemple, une signature à plusieurs domaines ou des modèles du second ordre nécessitent une extension), et le terme n'est pas synonyme d'« interprétation » dans d'autres cadres logiques.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la notion d'algébriste de structure (centrée sur opérations et équations) et l'accent du théoricien des modèles sur la définissabilité et la satisfaction des formules ; un même ensemble sous-jacent avec des interprétations différentes donne des modèles différents.

Synthèse

Un modèle est la réalisation sémantique d'un langage formel : un domaine muni d'interprétations concrètes des symboles de sorte que les phrases du premier ordre aient des valeurs de vérité déterminées, permettant d'étudier les théories par leurs instances concrètes.