Eine mathematische Struktur, die den Symbolen einer formalen Sprache (einer Signatur) Bedeutungen zuordnet — ein Trägermenge zusammen mit Interpretationen für Konstanten, Funktionen und Relationen — sodass Formeln der Sprache in dieser Struktur als wahr oder falsch bewertet werden können.

Prinzip

Ein Modell realisiert die Syntax einer Sprache semantisch: jede Konstante bezeichnet ein Element, jedes Funktionssymbol eine konkrete Funktion auf der Trägermenge, und jedes Relationssymbol eine Relation; die Erfüllung von Sätzen wird durch diese Interpretationen und die übliche Tarski-Semantik bestimmt.

Demonstration

Eine Gruppe (G, ·, e) betrachtet als Erste-Ordnungsstruktur hat die Trägermenge G, interpretiert das binäre Symbol · durch die Gruppenoperation und die Konstante e durch das neutrale Element; Aussagen, die Assoziativität oder Existenz von Inversen formulieren, sind in diesem Modell wahr.

Fehlanwendung

Das Modell mit seiner zugrundeliegenden Menge zu verwechseln oder isomorphe Modelle als identisch aufzufassen, ohne die Symbolinterpretation zu berücksichtigen; ein weiterer Fehlgebrauch ist anzunehmen, ein Homomorphismus algebraischer Strukturen müsse die Wahrheit aller Erstordnungsformeln erhalten (das ist nicht notwendig — nur elementare Einbettungen tun das).

Konsequenz

Modelle ermöglichen direkte semantische Fragen: ob ein Satz gilt, ob Typen realisiert werden und wie Strukturen durch Homomorphismen, Einbettungen und Isomorphismen zusammenhängen; korrekte Verwendung liefert konkrete Realisierungen von Theorien und Gegenbeispiele zu Vermutungen.

Umkehrung

Die Umkehr betont die syntaktische Perspektive: statt einer konkreten Struktur kann man mit der Theorie dieser Struktur arbeiten (der Menge der in ihr wahren Sätze); dies kehrt die Richtung vom semantischen Objekt zur syntaktischen Beschreibung um.

Abgrenzung

Ein Modell setzt eine feste Signatur und Erstordnungssemantik voraus; es schließt nichtstandardliche Semantiken aus, sofern die Begrifflichkeit nicht ausdrücklich erweitert wird (z. B. mehlsortige Signaturen oder Zweitordnungsmodelle erfordern eine Erweiterung), und der Begriff ist nicht mit 'Interpretation' in beliebigen logischen Rahmen synonym.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der algebraischen Auffassung einer Struktur (im Fokus: Operationen und Gleichungen) und der modeltheoretischen Betonung von Definierbarkeit und Formelwahrheit; dieselbe Trägermenge mit verschiedenen Interpretationen ergibt unterschiedliche Modelle.

Synthese

Ein Modell ist die semantische Realisierung einer formalen Sprache: eine Menge mit konkreten Interpretationen der Symbole, sodass Erstordnungsätze wohldefinierte Wahrheitswerte erhalten und Theorien anhand ihrer konkreten Instanzen untersucht werden können.