Una estructura matemática que asigna significados a los símbolos de un lenguaje formal (una firma): un dominio junto con interpretaciones de constantes, funciones y relaciones, de modo que las oraciones del lenguaje puedan evaluarse como verdaderas o falsas en esa estructura.

Principio

Un modelo realiza sintácticamente el lenguaje de forma semántica: cada constante denota un elemento, cada símbolo de función denota una función concreta en el dominio y cada símbolo de relación denota una relación; la satisfacción de las oraciones queda determinada por estas interpretaciones y la semántica de Tarski.

Demostración

Un grupo (G, ·, e) considerado como estructura de primer orden tiene dominio G, interpreta el símbolo binario · por la operación de grupo y la constante e por el elemento identidad; oraciones que afirman asociatividad o existencia de inversos son verdaderas en este modelo.

Aplicación incorrecta

Confundir el modelo con su conjunto subyacente o tratar modelos isomorfos como idénticos sin tener en cuenta la interpretación de los símbolos; otro uso indebido es suponer que un homomorfismo de estructuras algebraicas preserva la verdad de todas las fórmulas de primer orden (no es necesario — sólo las inmersiones elementarias lo hacen).

Consecuencia

Los modelos permiten abordar cuestiones semánticas directas: si una oración se cumple, si se realizan tipos, y cómo se relacionan las estructuras mediante homomorfismos, inmersiones e isomorfismos; su uso correcto produce realizaciones concretas de teorías y contraejemplos a conjeturas.

Inversión

La inversión enfatiza la perspectiva sintáctica: en lugar de una estructura concreta, se puede trabajar con la teoría de esa estructura (el conjunto de oraciones verdaderas en ella); esto invierte la dirección desde el objeto semántico hacia su descripción sintáctica.

Límite

Un modelo presupone una firma fija y semántica de primer orden; excluye semánticas no estándar a menos que se amplíe explícitamente la noción (por ejemplo, firmas con muchos tipos o modelos de segundo orden requieren extensión), y el término no es sinónimo de 'interpretación' en otros marcos lógicos.

Tensión semántica

Existe tensión entre la noción algebraica de estructura (centrada en operaciones y ecuaciones) y el énfasis modeloteórico en definibilidad y satisfacción de fórmulas; un mismo conjunto subyacente con interpretaciones distintas produce modelos distintos.

Síntesis

Un modelo es la realización semántica de un lenguaje formal: un dominio dotado de interpretaciones concretas de los símbolos para que las oraciones de primer orden tengan valores de verdad bien definidos, lo que permite estudiar las teorías a través de sus instancias concretas.