Propriété d'une algèbre (pas nécessairement associative) affirmant que l'associateur (a,b,c)=(ab)c−a(bc) s'annule chaque fois que deux arguments adjacents coïncident, c'est‑à‑dire (a,a,b)=(b,a,a)=0 pour tous a,b.

Principe

Affaiblir l'associativité pleine en exigeant l'associativité seulement lorsque deux emplacements voisins sont égaux ; cela garantit l'associativité des sous‑algèbres engendrées par deux éléments (théorème d'Artin) et produit des identités utiles.

Démonstration

L'algèbre des octonions est alternative mais non associative : tout produit dans lequel deux facteurs adjacents coïncident s'associe, et toute sous-algèbre engendrée par deux octonions est associative, illustrant concrètement l'alternativité.

Mauvaise application

Déduire l'associativité totale de l'alternativité ou supposer que des identités valables pour les anneaux associatifs tiennent en général ; l'alternativité n'implique pas l'associativité pour trois éléments distincts.

Conséquence

L'alternativité implique la puissance-associativité et que les sous-algèbres monogènes et engendrées par deux éléments sont associatives, ce qui permet des puissances bien définies et de nombreuses manipulations classiques au sein de ces sous-algèbres.

Inversion

Si l'alternativité est abandonnée, on peut obtenir des algèbres où les sous-algèbres engendrées par deux éléments sont non associatives et où les puissances sont ambiguës ; à l'inverse, l'associativité pleine est la condition plus forte qui annule tous les associateurs.

Limite

Cette propriété concerne l'associateur ternaire et s'applique aux algèbres sur un anneau ou un corps ; elle n'exige pas l'existence d'une unité et n'exclut pas d'autres pathologies, mais ne contrôle pas les associateurs à trois entrées distinctes.

Tension sémantique

Tension avec la puissance-associativité : l'alternativité implique la puissance-associativité et l'associativité à deux générateurs, mais la puissance-associativité seule n'impose pas l'alternativité ; ce sont des affaiblissements distincts de l'associativité.

Synthèse

L'alternativité est une position intermédiaire entre l'associativité et des identités plus faibles : elle fait disparaître les associateurs à entrées répétées, produisant un comportement associatif pour les sous-algèbres engendrées par un ou deux éléments tout en autorisant une non‑associativité réelle dans des produits plus larges.