Propiedad de un álgebra (no necesariamente asociativa) que afirma que el asociador (a,b,c)=(ab)c−a(bc) se anula siempre que dos argumentos adyacentes coincidan, es decir (a,a,b)=(b,a,a)=0 para todos a,b.

Principio

Debilitar la asociatividad plena exigiendo asociatividad solo cuando dos ranuras vecinas son iguales; esto garantiza que las subálgebras generadas por dos elementos sean asociativas (teorema de Artin) y produce identidades útiles.

Demostración

El álgebra de los octoniones es alternativa pero no asociativa: cualquier producto con dos factores adyacentes iguales asocia, y toda subálgebra generada por dos octoniones es asociativa, ilustrando la alternatividad de forma concreta.

Aplicación incorrecta

Inferir asociatividad total a partir de la alternatividad o asumir que identidades válidas en anillos asociativos valen en general; la alternatividad no implica asociatividad para tres elementos distintos.

Consecuencia

La alternatividad implica potencia-asociatividad y que las subálgebras monogénicas y generadas por dos elementos sean asociativas, lo que permite potencias bien definidas y muchas manipulaciones clásicas dentro de esas subálgebras.

Inversión

Si se elimina la alternatividad se pueden obtener álgebras en las que las subálgebras generadas por dos elementos no son asociativas y las potencias resultan ambiguas; por el contrario la asociatividad plena es la condición más fuerte que anula todos los asociadores.

Límite

Esta propiedad trata del asociador ternario y se aplica a álgebras sobre un anillo o campo; no exige unidad ni excluye otras patologías, pero no controla asociadores con tres entradas distintas.

Tensión semántica

Tensión con la potencia-asociatividad: la alternatividad implica potencia-asociatividad y asociatividad para dos generadores, pero la potencia-asociatividad por sí sola no fuerza la alternatividad; son debilitamientos relacionados pero distintos de la asociatividad.

Síntesis

La alternatividad es la posición intermedia entre la asociatividad y identidades más débiles: hace desaparecer los asociadores con entradas repetidas, produciendo comportamiento asociativo para subálgebras generadas por uno o dos elementos mientras permite no asociatividad genuina en productos de mayor aridad.