Eine Eigenschaft einer (nicht notwendigerweise assoziativen) Algebra, die besagt, dass der Assoziator (a,b,c)=(ab)c−a(bc) verschwindet, sobald zwei benachbarte Argumente übereinstimmen, d.h. (a,a,b)=(b,a,a)=0 für alle a,b.

Prinzip

Schwächung der vollen Assoziativität durch Forderung der Assoziativität nur in Fällen mit zwei gleichen nebeneinanderliegenden Stellen; dies garantiert die Assoziativität von Unteralgebren, die von zwei Elementen erzeugt werden (Artins Satz), und liefert nützliche Identitäten.

Demonstration

Die Oktonionen-Algebra ist alternativ, aber nicht assoziativ: jedes Produkt mit zwei gleichen benachbarten Faktoren assoziiert, und jede von zwei Oktonionen erzeugte Unteralgebra ist assoziativ, was Alternativität konkret demonstriert.

Fehlanwendung

Aus Alternativität auf volle Assoziativität zu schließen oder anzunehmen, dass für assoziative Ringe gültige Identitäten allgemein gelten; Alternativität erzwingt keine Assoziativität für drei verschiedene Elemente.

Konsequenz

Alternativität impliziert Potenzassoziativität und dass monogene und von zwei Elementen erzeugte Unteralgebren assoziativ sind, wodurch Potenzen wohldefiniert werden und klassische Manipulationen in diesen Unteralgebren möglich sind.

Umkehrung

Wird Alternativität fallengelassen, können Unteralgebren von zwei Erzeugern nicht assoziativ werden und Potenzen Mehrdeutigkeiten aufweisen; volle Assoziativität ist die stärkere Bedingung, die alle Assoziatoren aufhebt.

Abgrenzung

Die Eigenschaft bezieht sich auf den ternären Assoziator und gilt für Algebren über einem Ring oder Körper; sie verlangt nicht notwendigerweise ein Einselement und schließt andere pathologische Fälle nicht aus, kontrolliert aber nicht Assoziatoren mit drei verschiedenen Einträgen.

Semantische Spannung

Spannung zur Potenzassoziativität: Alternativität impliziert Potenzassoziativität und Assoziativität für zwei Erzeuger, doch Potenzassoziativität allein erzwingt nicht Alternativität; beides sind verwandte, aber unterschiedliche Abschwächungen der Assoziativität.

Synthese

Alternativität ist die mittlere Position zwischen Assoziativität und schwächeren Identitäten: sie lässt Assoziatoren mit wiederholten Einträgen verschwinden, bewirkt assoziatives Verhalten für ein- und zweierzeugte Unteralgebren und erlaubt zugleich echte Nichtassoziativität in größeren Produkten.