Le nombre de facteurs simples (irréductibles) apparaissant dans une série de composition finie d'un objet (module, groupe, etc.), compté avec multiplicité ; autrement dit la longueur d'une chaîne maximale de sous-objets dont les quotients successifs sont simples.

Principe

Décomposer un objet par une chaîne finie 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ An = A avec Ai+1/Ai simple ; la longueur de composition est n lorsque telle chaîne existe et, par le théorème de Jordan–Hölder, ne dépend pas de la série choisie.

Démonstration

Pour un espace vectoriel de dimension finie V sur un corps, toute série de composition a des quotients de dimension 1 et la longueur de composition coïncide avec la dimension de V. Pour Z/12Z comme Z-module, une série donne longueur 3 avec facteurs Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z.

Mauvaise application

Compter des raffinements qui ne sont pas simples ou omettre l'exigence de quotients successifs simples conduit à un surcomptage ; appliquer la notion à des objets sans série de composition finie (modules de longueur infinie) est erroné.

Conséquence

La longueur de composition est un invariant mesurant la complexité de l'objet, contraint sa structure de sous-quotients et intervient dans des résultats de classification ; l'existence d'une longueur finie implique souvent des conditions artiniennes et noethériennes.

Inversion

Au lieu de raffiner par des quotients simples, on peut considérer une suite du socle ou de Jacobson qui se concentre sur les sous-modules semisimples maximaux ou sur les radicaux successifs ; ces suites peuvent avoir des longueurs et propriétés différentes.

Limite

S'applique uniquement aux objets admettant une série de composition finie ; les objets de longueur infinie, dépourvus de sous-quotients simples, ou les contextes sans notion claire de simplicité en sont exclus.

Tension sémantique

La longueur de composition est en tension avec d'autres mesures de complexité telles que la longueur de Loewy, la dimension de Krull ou la longueur homologique : elle compte les briques irréductibles tandis que d'autres mesures capturent la profondeur stratifiée ou homologique.

Synthèse

La longueur de composition est le nombre fini de facteurs simples dans toute série de composition d'un objet, un invariant qui quantifie ses constituants irréductibles et restreint sa structure de sous-quotients lorsque une telle série finie existe.