Die Anzahl der einfachen (irreduziblen) Faktoren in einer endlichen Kompositionsreihe eines Objekts (z. B. Modul oder Gruppe), gezählt mit Multiplizität; äquivalent die Länge einer maximalen Kette von Teilobjekten mit einfachen aufeinanderfolgenden Quotienten.

Prinzip

Zerlege ein Objekt durch eine endliche Kette 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ An = A mit Ai+1/Ai einfach; die Kompositionslänge ist n, falls eine solche Kette existiert, und ist nach dem Jordan–Hölder-Satz unabhängig von der Wahl der Reihe.

Demonstration

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V über einem Körper haben Kompositionsreihen eindimensionale Quotienten und die Kompositionslänge entspricht der Dimension von V. Für Z/12Z als Z-Modul ergibt eine Reihe die Länge 3 mit Faktoren Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z.

Fehlanwendung

Nicht-einfache Verfeinerungen mitzuzählen oder die Forderung nach einfachen aufeinanderfolgenden Quotienten zu vernachlässigen führt zu Überschätzung; die Anwendung auf Objekte ohne endliche Kompositionsreihe ist unzulässig.

Konsequenz

Kompositionslänge ist ein Invariant, der die Komplexität eines Objekts misst, mögliche Unterquotientenstrukturen einschränkt und in Klassifikationssätzen auftritt; Existenz endlicher Länge impliziert oft artinsche und noethersche Bedingungen bei Modulen.

Umkehrung

Statt nach einfachen Quotienten zu verfeinern, betrachtet man eine Sokrals- oder Radikalsreihe, die sich auf maximale semisimple Untermoduln bzw. auf aufeinanderfolgende Radikale konzentriert; diese Reihen können abweichende Längen und Eigenschaften haben.

Abgrenzung

Gilt nur für Objekte, die eine endliche Kompositionsreihe besitzen; Objekte unendlicher Länge, ohne einfache Unterquotienten oder in Kontexten ohne klaren Einfachheitsbegriff fallen heraus.

Semantische Spannung

Kompositionslänge steht im Spannungsfeld zu anderen Komplexitätsmaßen wie Loewy-Länge, Krull-Dimension oder homologischer Länge: sie zählt irreduzible Bausteine, während andere Maße geschichtete oder homologische Tiefe erfassen.

Synthese

Die Kompositionslänge ist die endliche Zahl einfacher Faktoren in irgendeiner Kompositionsreihe eines Objekts, ein Invariant, der dessen irreduzible Bestandteile quantifiziert und die Unterquotientenarchitektur beiExistenz einer solchen Reihe einschränkt.