Definición
El número de factores simples (irreducibles) que aparecen en una serie de composición finita de un objeto (módulo, grupo, etc.), contado con multiplicidad; equivalentemente la longitud de una cadena máxima de subobjetos con cocientes sucesivos simples.
Principio
Principio
Descomponer un objeto mediante una cadena finita 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ An = A donde Ai+1/Ai es simple; la longitud de composición es n cuando existe tal cadena y, por el teorema de Jordan–Hölder, no depende de la serie elegida.
Demostración
Demostración
Para un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo, toda serie de composición tiene cocientes de dimensión 1 y la longitud de composición coincide con la dimensión de V. Para Z/12Z como Z-módulo, una serie da longitud 3 con factores Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Contar refinamientos que no son simples o no exigir que los cocientes sucesivos sean simples conduce a sobreconteo; aplicar la noción a objetos sin serie de composición finita (longitud infinita) es incorrecto.
Consecuencia
Consecuencia
La longitud de composición es un invariante que mide la complejidad del objeto, restringe las estructuras de subcocientes posibles y participa en resultados de clasificación; la existencia de longitud finita suele implicar condiciones artinianas y noetherianas para módulos.
Inversión
Inversión
En lugar de refinar por cocientes simples, considerar una serie del socle o del radical que se centra en submódulos semisimples máximos o en los radicales sucesivos; estas series pueden tener longitudes y propiedades diferentes.
Límite
Límite
Se aplica solo a objetos que admiten una serie de composición finita; quedan fuera objetos de longitud infinita, sin subcocientes simples o contextos sin una noción clara de simplicidad.
Tensión semántica
Tensión semántica
La longitud de composición compite con otras medidas de complejidad como la longitud de Loewy, la dimensión de Krull o la longitud homológica: la longitud de composición cuenta bloques irreducibles, mientras que otras medidas capturan profundidad por capas u homológica.
Síntesis
Síntesis
La longitud de composición es el número finito de factores simples en cualquier serie de composición de un objeto, un invariante que cuantifica sus constituyentes irreducibles y restringe su arquitectura de subcocientes cuando existe tal refinamiento finito.