L'ensemble des scalaires λ pour lesquels le décalage T−λI d'un opérateur n'est pas inversible ; il capture les propriétés spectrales complètes d'un opérateur, en généralisant les valeurs propres aux contextes non normaux ou de dimension infinie.

Principe

Pour un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach, le spectre est un ensemble compact non vide du plan complexe ; il se décompose (en dimension infinie) en spectre ponctuel (valeurs propres), spectre continu et résiduel, et satisfait des formules reliant le rayon spectral aux normes de l'opérateur.

Démonstration

Pour une matrice n×n le spectre est l'ensemble des racines du polynôme caractéristique (les valeurs propres). Pour le shift unilatéral sur ℓ^2 le spectre est le disque unité fermé bien qu'il n'ait pas de valeurs propres dans le disque ouvert ; pour les opérateurs compacts les points non nuls du spectre sont des valeurs propres de multiplicité finie qui n'accumulent qu'en zéro.

Mauvaise application

Considérer toujours le spectre comme l'ensemble des valeurs propres (valide en dimension finie mais trompeur en dimension infinie) ou ignorer les distinctions entre spectre ponctuel, continu et résiduel lors de l'utilisation du calcul fonctionnel ou d'arguments de stabilité.

Conséquence

L'information spectrale gouverne le calcul fonctionnel (définition de f(T) pour f holomorphes ou continues sur le spectre), l'évolution à long terme via le spectre des générateurs, et les estimations du résolvant utilisées en EDP et analyse numérique ; le rayon spectral borne la croissance des itérés.

Inversion

L'ensemble résolvant est le complément du spectre : ce sont les scalaires pour lesquels T−λI est inversible et l'opérateur résolvant (T−λI)^{-1} est défini ; les propriétés analytiques du résolvant reflètent les caractéristiques spectrales.

Limite

La définition dépend de la classe d'opérateurs et de l'espace ambiant : les matrices de dimension finie ont un spectre purement ponctuel égal aux valeurs propres ; sur les espaces de Banach ou de Hilbert apparaissent d'autres types spectraux et le spectre dépend de la topologie et de la complétude ; les opérateurs non bornés exigent des considérations de domaine et entraînent des spectres liés à l'auto-adjonction ou autres propriétés.

Tension sémantique

Spectre versus domaine numérique et versus spectre ponctuel : le spectre encode l'échec d'inversibilité et est stable par opérations algébriques, tandis que le domaine numérique capture des moyennes quadratiques et peut être plus grand ou plus petit ; le spectre ponctuel (valeurs propres) n'est qu'une composante du spectre complet en dimension infinie.

Synthèse

Le spectre est l'ensemble complet des scalaires qui empêchent l'inversibilité de T−λI ; il généralise les valeurs propres en un invariant spectral complet qui contrôle le calcul fonctionnel, la stabilité et le comportement du résolvant de l'opérateur.