El conjunto de escalares λ para los cuales el desplazamiento T−λI del operador no es invertible; captura las propiedades espectrales completas de un operador y generaliza los valores propios a contextos no normales o de dimensión infinita.

Principio

Para un operador lineal acotado en un espacio de Banach, el espectro es un subconjunto compacto no vacío del plano complejo; en dimensión infinita se descompone en espectro puntual (valores propios), continuo y residual, y satisface fórmulas del radio espectral relacionadas con la norma del operador.

Demostración

Para una matriz n×n el espectro coincide con el conjunto de raíces del polinomio característico (los valores propios). Para el desplazamiento unilateral en ℓ^2 el espectro es el disco unitario cerrado aunque no existan valores propios en el disco abierto; para operadores compactos los puntos no nulos del espectro son valores propios de multiplicidad finita que solo pueden acumularse en cero.

Aplicación incorrecta

Tratar siempre el espectro como el conjunto de valores propios (válido en dimensiones finitas pero engañoso en dimensiones infinitas) o ignorar las distinciones entre espectro puntual, continuo y residual al aplicar cálculo funcional o argumentos de estabilidad.

Consecuencia

La información espectral gobierna el cálculo funcional (definir f(T) para f holomorfas o continuas en el espectro), la evolución a largo plazo a través del espectro de generadores y estimaciones del resolvente usadas en EDPs y análisis numérico; el radio espectral acota el crecimiento de iterados.

Inversión

El conjunto resolvente es el complemento del espectro: escalares para los cuales T−λI es invertible y el resolvente (T−λI)^{-1} está definido; las propiedades analíticas del resolvente reflejan rasgos espectrales.

Límite

La definición depende de la clase de operador y del espacio ambiente: las matrices en dimensión finita tienen espectro puramente puntual igual a los valores propios; en espacios de Banach o Hilbert aparecen tipos espectrales adicionales y el espectro depende de la topología y la completitud; operadores no acotados requieren consideraciones de dominio y producen espectros vinculados a autoadjuntidad u otras propiedades.

Tensión semántica

Espectro versus rango numérico y versus espectro puntual: el espectro codifica la falta de invertibilidad y es estable bajo operaciones algebraicas, mientras que el rango numérico captura promedios cuadráticos y puede ser más grande o más pequeño; el espectro puntual (valores propios) es solo una componente del espectro completo en dimensión infinita.

Síntesis

El espectro es el conjunto completo de escalares que obstruyen la invertibilidad de T−λI; generaliza los valores propios a un invariante espectral que controla el cálculo funcional, la estabilidad y el comportamiento del resolvente del operador.