Die Menge der Skalare λ, für die die Verschiebung T−λI eines Operators nicht invertierbar ist; sie erfasst die vollständigen spektralen Eigenschaften eines Operators und verallgemeinert Eigenwerte auf unendlich-dimensionale und nicht-normale Situationen.

Prinzip

Für einen beschränkten linearen Operator auf einem Banachraum ist das Spektrum eine kompakte, nichtleere Teilmenge der komplexen Ebene; es zerfällt (im unendlichdimensionalen Fall) in Punkt-, kontinuierliches und residuales Spektrum und erfüllt Spektralradiusformeln in Beziehung zur Operatornorm.

Demonstration

Für eine n×n-Matrix ist das Spektrum gleich der Menge der Nullstellen des charakteristischen Polynoms (die Eigenwerte). Für die einseitige Verschiebung auf ℓ^2 ist das Spektrum die abgeschlossene Einheitscheibe, obwohl es im offenen Kreis keine Eigenwerte gibt; bei kompakten Operatoren sind nicht-null Punkte des Spektrums Eigenwerte endlicher Vielfachheit, die nur bei Null akkumulieren dürfen.

Fehlanwendung

Das Spektrum stets mit der Menge der Eigenwerte gleichsetzen (in endlichdimensionalen Fällen gültig, in unendlichdimensionalen irreführend) oder die Unterscheidungen zwischen Punkt-, kontinuierlichem und residualem Spektrum zu ignorieren, wenn man Funktionalkalkül oder Stabilitätsargumente anwendet.

Konsequenz

Spektralinformation steuert den Funktionalkalkül (Definition von f(T) für holomorphe oder stetige f auf dem Spektrum), das Langzeitverhalten über das Spektrum von Generatoren und Resolventenschätzungen, die in PDEs und numerischer Analyse verwendet werden; der Spektralradius beschränkt das Wachstum von Potenzen des Operators.

Umkehrung

Die Resolventenmenge ist das Komplement des Spektrums: Skalare, für die T−λI invertierbar ist und der Resolventenoperator (T−λI)^{-1} existiert; analytische Eigenschaften des Resolvents spiegeln spektrale Eigenschaften wider.

Abgrenzung

Die Definition hängt von der Operatorenklasse und dem umgebenden Raum ab: endlich-dimensionale Matrizen haben reines Punkt-Spektrum gleich den Eigenwerten; in Banach- oder Hilberträumen treten zusätzliche Spektraltypen auf und das Spektrum hängt von Topologie und Vollständigkeit ab; unbeschränkte Operatoren erfordern Gebietsdiskussionen und führen zu Spektren, die mit Selbstadjungiertheit oder anderen Eigenschaften zusammenhängen.

Semantische Spannung

Spektrum versus numerischer Wertebereich und versus Punkt-Spektrum: Das Spektrum kodiert das Versagen der Invertierbarkeit und ist unter algebraischen Operationen stabil, während der numerische Wertebereich quadratische Mittelwerte erfasst und größer oder kleiner sein kann; das Punkt-Spektrum (Eigenwerte) ist in unendlichdimensionalen Fällen nur ein Teil des vollständigen Spektrums.

Synthese

Das Spektrum ist die vollständige Menge der Skalare, die die Invertierbarkeit von T−λI verhindern; es verallgemeinert Eigenwerte zu einem kompletten spektralen Invariant, das Funktionalkalkül, Stabilität und das Verhalten des Resolvents des Operators bestimmt.