Le polynôme unitaire de plus bas degré sur l'anneau ou le corps de base qui annule un opérateur linéaire ou un élément algébrique ; c'est-à-dire le polynôme unitaire p de degré minimal tel que p(T)=0.

Principe

Le polynôme minimal divise tout polynôme qui annule l'opérateur ; ses facteurs irréductibles distincts coïncident avec ceux apparaissant dans la décomposition primaire et ses exposants enregistrent les tailles des plus grands blocs de Jordan pour chaque valeur propre en dimension finie.

Démonstration

Si une matrice a des blocs de Jordan de tailles 1,2,2 pour la valeur propre λ et un bloc de taille 3 pour la valeur propre μ, alors le polynôme minimal est (x−λ)^2(x−μ)^3. Pour une matrice diagonalisable le polynôme minimal est le produit des facteurs linéaires distincts correspondant aux valeurs propres.

Mauvaise application

Confondre le polynôme minimal avec le polynôme caractéristique (ce dernier a un degré égal à la dimension de la matrice et enregistre les multiplicités différemment) ou supposer que le polynôme minimal détermine une base de vecteurs propres sans tenir compte des vecteurs propres généralisés et des multiplicités géométriques.

Conséquence

Le polynôme minimal détermine les relations polynomiales satisfaites par T (permet de réduire le calcul fonctionnel polynomial) et contrôle la décomposition en sous-espaces cycliques et la structure de l'opérateur sous forme canonique de Frobenius ou forme de Jordan ; il donne le polynôme unitaire de plus bas degré nécessaire pour annuler T.

Inversion

Inverser le point de vue donne l'ensemble de tous les polynômes annihilateurs ; parmi eux le polynôme caractéristique est un annihilateur particulier de degré égal à la dimension, tandis que le polynôme minimal est le diviseur unitaire de plus bas degré commun à tous les annihilateurs.

Limite

Défini pour les éléments d'algèbres associatives sur un anneau ou un corps de base ; sur des anneaux non corps il faut tenir compte des polynômes non unitaires et des diviseurs de zéro ; le polynôme minimal peut se factoriser sur une extension du corps mais doit être considéré par rapport au corps de base choisi lorsqu'on décrit la structure relative à ce corps.

Tension sémantique

Polynôme minimal versus polynôme caractéristique et versus idéal annihilateur : le polynôme minimal est le générateur du principal idéal d'annihilation dans l'anneau des polynômes agissant sur un module cyclique, tandis que le polynôme caractéristique transporte des invariants déterminant/trace et des données complètes de multiplicités.

Synthèse

Le polynôme minimal est le polynôme unitaire canonique d'annulation de plus bas degré qui encode les obstructions algébriques essentielles à l'inversion ou à la réduction d'un opérateur linéaire et dont les exposants de facteurs reflètent les tailles maximales des blocs nilpotents de Jordan par valeur propre.