Das normierte (monische) Polynom geringsten Grades über dem Grundring oder -feld, das ein gegebenes lineares Abbild oder ein algebraisches Element annihiliert; also das monische p minimalen Grades mit p(T)=0.

Prinzip

Das Minimalpolynom teilt jedes Polynom, das den Operator annihiliert; seine verschiedenen irreduziblen Faktoren stimmen mit denen der Primärzerlegung überein, und die Exponenten geben in der endlichdimensionalen Darstellung die Größen der größten Jordan-Blöcke zu jedem Eigenwert an.

Demonstration

Hat eine Matrix Jordan-Blöcke der Größen 1,2,2 zum Eigenwert λ und einen Block der Größe 3 zum Eigenwert μ, so ist das Minimalpolynom (x−λ)^2(x−μ)^3. Bei einer diagonalisierbaren Matrix ist das Minimalpolynom das Produkt der verschiedenen linearen Faktoren, die den Eigenwerten entsprechen.

Fehlanwendung

Das Minimalpolynom mit dem charakteristischen Polynom verwechseln (dieses hat Grad gleich der Matrixdimension und erfasst Vielfachheiten anders) oder annehmen, das Minimalpolynom bestimme eindeutig Eigenvektorbasen, ohne generalisierte Eigenvektoren und geometrische Vielfachheiten zu berücksichtigen.

Konsequenz

Das Minimalpolynom bestimmt polynomiale Relationen, die T erfüllt (ermöglicht Reduktionen im polynomiellen Funktionalkalkül) und steuert die Zerlegung in zyklische Unterräume sowie die Struktur des Operators in rationaler Normalform oder Jordanscher Form; es ist das kleinstgradige Polynom, das T annihiliert.

Umkehrung

Die Umkehrung ergibt die Menge aller annihilierenden Polynome; darunter ist das charakteristische Polynom ein spezieller Annihilator vom Grad der Dimension, während das Minimalpolynom der monische Teiler kleinsten Grades aller Annihilatoren ist.

Abgrenzung

Definiert für Elemente assoziativer Algebren über einem Grundring oder -feld; über Ringen, die keine Körper sind, müssen nicht-monische Polynome und Nullteiler berücksichtigt werden; das Minimalpolynom kann sich über eine Erweiterung zerlegen, ist jedoch bezüglich des gewählten Grundfelds zu betrachten, wenn Struktur relativ zu diesem Feld beschrieben wird.

Semantische Spannung

Minimalpolynom versus charakteristisches Polynom und versus Annihilatorideal: Das Minimalpolynom ist der Erzeuger des prinzipalen Annihilatorideals im Polynomring, der auf ein zyklisches Modul wirkt, während das charakteristische Polynom Determinanten-/Spur-Invarianten und vollständige Vielfachheitsdaten enthält.

Synthese

Das Minimalpolynom ist das kanonische monische Annihilationspolynom kleinsten Grades, das die wesentlichen algebraischen Hindernisse für die Inversion oder Reduktion eines linearen Operators kodiert und dessen Faktorexponenten die größten Größen nilpotenter Jordan-Blöcke pro Eigenwert widerspiegeln.