El polinomio mónico de menor grado sobre el anillo o cuerpo base que anula a un operador lineal o elemento algebraico dado; es decir, el polinomio monico p de grado mínimo con p(T)=0.

Principio

El polinomio mínimo divide a cualquier polinomio que anule al operador; sus factores irreducibles distintos coinciden con los de la descomposición primaria y sus exponentes registran los tamaños de los mayores bloques de Jordan por cada valor propio en el caso finito-dimensional.

Demostración

Si una matriz tiene bloques de Jordan de tamaños 1,2,2 para el valor propio λ y un bloque de tamaño 3 para el valor propio μ, entonces el polinomio mínimo es (x−λ)^2(x−μ)^3. Para una matriz diagonalizable el polinomio mínimo es el producto de los factores lineales distintos correspondientes a los valores propios.

Aplicación incorrecta

Confundir el polinomio mínimo con el polinomio característico (este último tiene grado igual al tamaño de la matriz y registra las multiplicidades de manera distinta) o suponer que el polinomio mínimo determina bases de vectores propios sin considerar vectores propios generalizados y multiplicidades geométricas.

Consecuencia

El polinomio mínimo determina las relaciones funcionales que satisface T (permite reducciones en el cálculo funcional polinómico) y controla la descomposición en subespacios cíclicos y la estructura del operador en forma canónica racional o forma de Jordan; da el polinomio mónico de menor grado necesario para anular a T.

Inversión

Invertir la perspectiva produce el conjunto de todos los polinomios anuladores; entre ellos el polinomio característico es un anulador particular cuyo grado es la dimensión, mientras que el polinomio mínimo es el divisor mónico de menor grado común a todos los anuladores.

Límite

Definido para elementos de álgebras asociativas sobre un anillo o cuerpo base; sobre anillos no cuerpos hay que tener en cuenta polinomios no mónicos y divisores de cero; el polinomio mínimo puede factorizarse en una extensión del cuerpo pero debe considerarse respecto del cuerpo base elegido al describir la estructura relativa a ese cuerpo.

Tensión semántica

Polinomio mínimo versus polinomio característico y versus ideal anulador: el polinomio mínimo es el generador del ideal anulador principal en el anillo de polinomios que actúa sobre un módulo cíclico, mientras que el polinomio característico transporta invariantes de determinante/traza y datos completos de multiplicidad.

Síntesis

El polinomio mínimo es el polinomio mónico canónico que anula de menor grado y codifica las obstrucciones algebraicas esenciales para invertir o reducir un operador lineal, cuyos exponentes de factores reflejan los mayores tamaños de bloques nilpotentes de Jordan por valor propio.