Un scalaire λ pour lequel il existe un vecteur non nul v (un vecteur propre) vérifiant (T−λI)v=0 pour un opérateur linéaire T, indiquant une direction invariante à une mise à l'échelle près par λ.

Principe

Les valeurs propres sont des racines du polynôme caractéristique d'un opérateur en dimension finie ; chaque valeur propre correspond à un sous-espace invariant non nul et porte des informations algébriques telles que la multiplicité et l'existence éventuelle de vecteurs propres généralisés en cas de défaut de diagonalisabilité.

Démonstration

Pour une matrice diagonale de coefficients diagonaux d1,…,dn, les valeurs propres sont exactement ces entrées diagonales. Une rotation du plan possède des valeurs propres complexes de module 1 et peut ne pas avoir de valeurs propres réelles ; un bloc de Jordan de taille k associé à λ implique des chaînes de vecteurs propres généralisés de longueur k.

Mauvaise application

Confondre valeurs propres et valeurs singulières (grandeurs métriques) ou supposer la présence de valeurs propres et d'une base de vecteurs propres en dimension infinie sans vérifier la compacité ou d'autres propriétés spectrales ; considérer la multiplicité algébrique égale à la multiplicité géométrique sans vérification.

Conséquence

La connaissance des valeurs propres renseigne sur la diagonalisabilité, la décomposition spectrale, le comportement asymptotique des systèmes dynamiques linéaires (par exemple les taux de croissance via e^{tA}), et des invariants comme le déterminant (produit des valeurs propres, en comptant les multiplicités) et la trace (somme des valeurs propres).

Inversion

Inverser le concept donne l'ensemble de résolution : les scalaires pour lesquels (T−λI) est inversible et donc il n'existe pas de vecteur propre non nul ; considérer également le spectre généralisé où λ appartient au spectre sans être valeur propre (spectre continu ou résiduel).

Limite

Dans les espaces vectoriels de dimension finie sur un corps algébriquement clos tout opérateur possède des valeurs propres ; sur des corps non algébriquement clos elles peuvent apparaître dans une extension ; en dimension infinie les valeurs propres peuvent être absentes alors que le spectre est non vide. Distinguer multiplicité algébrique et géométrique et spectre ponctuel versus approché.

Tension sémantique

Valeur propre versus valeur singulière ou rayon spectral : les valeurs propres encodent des directions algébriques invariantes (y compris orientation et phases complexes), tandis que les valeurs singulières mesurent des grandeurs invariantes orthogonalement et le rayon spectral donne le module maximal mais pas la structure directionnelle.

Synthèse

Une valeur propre est le scalaire qui enregistre une direction de mise à l'échelle non triviale d'un opérateur linéaire ; avec vecteurs propres et vecteurs propres généralisés elle organise l'action de l'opérateur en pièces décomposables contrôlant la structure algébrique et la dynamique.