Un escalar λ para el cual existe un vector no nulo v (un vector propio) tal que (T−λI)v=0 para un operador lineal T, indicando una dirección invariante salvo por el escalado λ.

Principio

Los valores propios son raíces del polinomio característico de un operador en dimensión finita; a cada valor propio le corresponde un subespacio invariante de vectores no nulos y datos algebraicos como multiplicidad y posibles vectores propios generalizados en caso de matrices no diagonalizables.

Demostración

Para una matriz diagonal con entradas diagonales d1,…,dn, los valores propios son precisamente esas entradas. Una rotación en el plano puede tener valores propios complejos de módulo 1 y carecer de valores propios reales; un bloque de Jordan de tamaño k para el valor propio λ implica cadenas de vectores propios generalizados de longitud k.

Aplicación incorrecta

Confundir valores propios con valores singulares (magnitudes métricas) o asumir la existencia de valores propios y de una base de vectores propios en espacios de dimensión infinita sin verificar compacidad u otras propiedades espectrales; tratar la multiplicidad algebraica como igual a la multiplicidad geométrica sin comprobarlo.

Consecuencia

El conocimiento de los valores propios informa sobre la diagonalizabilidad, la descomposición espectral, el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos lineales (p. ej. tasas de crecimiento vía e^{tA}) y invariantes como el determinante (producto de los valores propios, contando multiplicidades) y la traza (suma de los valores propios).

Inversión

Invertir el concepto produce el conjunto resolvente: escalares para los cuales (T−λI) es invertible y por tanto no existe vector propio no nulo; también existe la situación en que λ pertenece al espectro pero no es valor propio (espectro continuo o residual).

Límite

En espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado todo operador tiene valores propios; sobre cuerpos no algebraicamente cerrados los valores propios pueden encontrarse en una extensión; en dimensión infinita pueden faltar valores propios aunque el espectro sea no vacío. Distinguir multiplicidad algebraica y geométrica y espectro puntual frente a aproximado.

Tensión semántica

Valor propio frente a valor singular o radio espectral: los valores propios codifican direcciones invariantes algebraicamente (incluyendo orientación y fases complejas), mientras que los valores singulares miden escalas métricas invariantes ortogonalmente y el radio espectral da el módulo máximo sin describir la estructura direccional.

Síntesis

Un valor propio es el escalar que registra una dirección no trivial de escalado invariante de un operador lineal; junto con vectores propios y vectores propios generalizados organiza la acción del operador en piezas que controlan su estructura algebraica y dinámica.