Ein Skalar λ, für das es einen von null verschiedenen Vektor v (einen Eigenvektor) gibt, der (T−λI)v=0 erfüllt; es kennzeichnet eine Richtung, die bis auf Skalierung von λ invariant ist.

Prinzip

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms eines endlichdimensionalen Operators; jedem Eigenwert entspricht ein invariantes Untervektorraum und algebraische Daten wie Vielfachheit sowie eventuell generalisierte Eigenvektoren im nicht-diagonalisierbaren Fall.

Demonstration

Bei einer Diagonal-Matrix mit Diagonaleinträgen d1,…,dn sind die Eigenwerte genau diese Diagonaleinträge. Eine Drehung in der Ebene hat komplexe Eigenwerte vom Betrag 1 und kann keine reellen Eigenwerte besitzen; ein Jordan-Block der Größe k für den Eigenwert λ erzeugt Ketten von generalisierten Eigenvektoren der Länge k.

Fehlanwendung

Eigenwerte mit Singulärwerten verwechseln (metrische Größen) oder in unendlich-dimensionalen Räumen ohne Prüfung auf Kompaktheit oder andere spektrale Eigenschaften das Vorhandensein von Eigenwerten und vollständigen Eigenvektoren annehmen; algebraische Vielfachheit fälschlich mit geometrischer Vielfachheit gleichsetzen.

Konsequenz

Kenntnis der Eigenwerte informiert über Diagonalisierbarkeit, Spektralzerlegung, das Langzeitverhalten linearer dynamischer Systeme (z.B. Wachstumsraten über e^{tA}) und Invarianten wie Determinante (Produkt der Eigenwerte, mit Multiplizitäten) und Spur (Summe der Eigenwerte).

Umkehrung

Die Umkehrung führt zur Resolventenmenge: Skalare, für die (T−λI) invertierbar ist, sodass kein nichttrivialer Eigenvektor existiert; ebenso ist zu unterscheiden, wenn λ zum Spektrum gehört, aber kein Eigenwert ist (stetiges oder residuales Spektrum).

Abgrenzung

In endlichdimensionalen Vektorräumen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt jeder Operator Eigenwerte; über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können Eigenwerte nur in Erweiterungen auftreten; in unendlichdimensionalen Räumen können Eigenwerte fehlen, während das Spektrum nichtleer bleibt. Unterscheiden Sie algebraische und geometrische Vielfachheit sowie Punkt- und Approximationsspektrum.

Semantische Spannung

Eigenwert versus Singulärwert oder Spektralradius: Eigenwerte kodieren algebraische Richtungen (inkl. Orientierung und komplexer Phasen), während Singulärwerte metrische Skalierungen messen und der Spektralradius den maximalen Betrag liefert, aber nicht die Richtungsstruktur.

Synthese

Ein Eigenwert ist das Skalar, das eine nichttriviale invariante Skalierungsrichtung eines linearen Operators aufzeichnet; zusammen mit Eigen- und generalisierten Eigenvektoren strukturiert er das Operatorverhalten in zerlegbare Komponenten, die die algebraische Struktur und Dynamik bestimmen.