Un entier non négatif (ou cardinal) décrivant le nombre maximal de lignes ou colonnes linéairement indépendantes d'une matrice, équivalemment la dimension de l'image (espace des colonnes) d'une application linéaire ; il quantifie les degrés de liberté linéaires effectifs de l'opérateur ou de la matrice.

Principe

Le rang est égal à la dimension de l'image d'une transformation linéaire et est invariant par changement de base ; en dimensions finies il satisfait le théorème du rang et de la nullité : dim(domaine) = rang + nullité, et le rang maximal caractérise l'inversibilité pour les matrices carrées.

Démonstration

Une matrice identité 3×3 a pour rang 3 ; une matrice 3×3 avec deux lignes indépendantes a pour rang 2 et envoie R^3 sur un sous-espace de dimension 2 ; l'application linéaire T : R^4 → R^3 donnée par une matrice 3×4 de rang 3 a une image de dimension 3 et une nullité 1.

Mauvaise application

Confondre le rang d'une matrice avec le rang d'un tenseur ou le rang multilinéaire, calculer le rang sur le corps incorrect (par exemple utiliser l'arithmétique réelle alors que le problème est sur un corps fini), ou supposer que le rang numérique calculé approximativement coïncide avec le rang algébrique exact sans contrôles de stabilité.

Conséquence

Le rang détermine la résolubilité des systèmes linéaires (un système a des solutions soumises à des conditions de rang), l'inversibilité des matrices carrées (rang plein), et la dimension des images et conoyaux ; il contrôle aussi les comptes de dimension en géométrie algébrique linéaire et fixe le nombre de contraintes indépendantes.

Inversion

La nullité (la dimension du noyau) mesure la déficience du rang ; on peut se concentrer à la place sur la dimension du conoyau ou le corang (codimension de l'image) qui quantifie les contraintes non satisfaites par l'image de l'application.

Limite

Sur des anneaux généraux le rang peut être ambigu (plusieurs notions non équivalentes existent, comme le rang de Smith ou le rang libre) ; pour des opérateurs en dimension infinie on parle plutôt de rang fini, rang infini ou indice de Fredholm plutôt qu'un simple entier.

Tension sémantique

Le rang se confond facilement avec des invariants proches (rang de tenseur, rang analytique, rang numérique, ou rang libre sur des anneaux) ; préciser le corps ou l'anneau sous-jacent et s'il s'agit de rang de matrice/opérateur/tenseur évite les malentendus.

Synthèse

Le rang mesure la taille de l'image d'une application linéaire — le nombre de directions de sortie indépendantes — et conjointement avec la nullité fournit la partition fondamentale de la dimension du domaine gouvernant la résolubilité, l'inversibilité et le compte des contraintes en contextes linéaires.