Eine nichtnegative ganze Zahl (oder Kardinalzahl), die die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten einer Matrix beschreibt, bzw. äquivalent die Dimension des Bildes (Spaltenraumes) einer linearen Abbildung; sie quantifiziert die effektiven linearen Freiheitsgrade des Operators oder der Matrix.

Prinzip

Der Rang ist gleich der Dimension des Bildes einer linearen Abbildung und invariant unter Basiswechsel; in endlichen Dimensionen gilt der Rang-Nullitätssatz: dim(Domäne) = Rang + Nullität, und voller Rang kennzeichnet die Invertierbarkeit quadratischer Matrizen.

Demonstration

Eine 3×3-Einheitsmatrix hat Rang 3; eine 3×3-Matrix mit zwei unabhängigen Zeilen hat Rang 2 und bildet R^3 auf einen 2-dimensionalen Unterraum ab; die lineare Abbildung T: R^4 → R^3 gegeben durch eine 3×4-Matrix vom Rang 3 hat Bilddimension 3 und Nullität 1.

Fehlanwendung

Den Matrizenrang mit Tensorrang oder multilinearem Rang zu verwechseln, Rang über dem falschen Körper zu berechnen (z. B. reelle Arithmetik verwenden, obwohl das Problem über einem endlichen Körper liegt), oder anzunehmen, ein numerisch berechneter Rang entspreche dem exakten algebraischen Rang ohne Stabilitätsprüfung.

Konsequenz

Der Rang bestimmt die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme (ein System hat Lösungen unter Rangbedingungen), die Invertierbarkeit quadratischer Matrizen (voller Rang) und die Dimensionen von Bild und Kokern; er steuert auch Dimensionszählungen in der linearen algebraischen Geometrie und legt die Zahl unabhängiger Zwangsbedingungen fest.

Umkehrung

Die Nullität (Dimension des Kerns) misst die Rangdefizienz; alternativ fokussiert man auf die Kokern-Dimension oder Korang (Kodimension des Bildes), die die vom Bild nicht erfüllten Zwangsbedingungen quantifiziert.

Abgrenzung

Über allgemeinen Ringen kann der Rang mehrdeutig sein (es existieren verschiedene nichtäquivalente Begriffe wie Smith-Rang oder freier Rang); bei unendlichdimensionalen Operatoren spricht man eher von Endlichem Rang, unendlichem Rang oder Fredholm-Index statt eines einfachen ganzzahligen Rangs.

Semantische Spannung

Rang wird leicht mit verwandten Invarianten verwechselt (Tensorrang, analytischer Rang, numerischer Rang oder freier Rang über Ringen); die Spezifikation des zugrundeliegenden Körpers oder Rings und ob Matrizen-/Operator-/Tensorrang gemeint ist, vermeidet Missverständnisse.

Synthese

Der Rang misst die Größe des Bildes einer linearen Abbildung — die Anzahl unabhängiger Ausgangsrichtungen — und liefert zusammen mit der Nullität die fundamentale Aufteilung der Domänen-Dimension, die Lösbarkeit, Invertierbarkeit und Zwangszählung in linearen Kontexten bestimmt.