Un entero no negativo (o cardinal) que describe el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz, equivalente a la dimensión de la imagen (espacio de columnas) de una aplicación lineal; cuantifica los grados de libertad lineales efectivos del operador o la matriz.

Principio

El rango equivale a la dimensión de la imagen de una transformación lineal y es invariante por cambio de base; en dimensiones finitas satisface el teorema rango–nulidad: dim(dominio) = rango + nulidad, y el rango completo caracteriza la invertibilidad de matrices cuadradas.

Demostración

Una matriz identidad 3×3 tiene rango 3; una matriz 3×3 con dos filas independientes tiene rango 2 y mapea R^3 sobre un subespacio de dimensión 2; la aplicación lineal T: R^4 → R^3 dada por una matriz 3×4 de rango 3 tiene imagen de dimensión 3 y nulidad 1.

Aplicación incorrecta

Confundir el rango de una matriz con el rango de un tensor o rango multilineal, calcular el rango sobre el cuerpo equivocado (por ejemplo usar aritmética real cuando el problema está sobre un cuerpo finito), o asumir que el rango numérico calculado aproximadamente es igual al rango algebraico exacto sin comprobaciones de estabilidad.

Consecuencia

El rango determina la solvencia de sistemas lineales (un sistema tiene soluciones sujetas a condiciones de rango), la invertibilidad de matrices cuadradas (rango completo) y la dimensión de imágenes y conúcleos; también condiciona recuentos de dimensión en geometría algebraica lineal y fija el número de restricciones independientes.

Inversión

La nulidad (la dimensión del núcleo) mide la deficiencia del rango; alternativamente, se puede enfocar en la dimensión del conúcleo o corango (codimensión de la imagen), que cuantifica las restricciones no satisfechas por la imagen.

Límite

Sobre anillos generales el rango puede ser ambiguo (existen varias nociones no equivalentes, como rango de Smith o rango libre); para operadores en dimensión infinita se habla de rango finito, rango infinito o índice de Fredholm en lugar de un único entero.

Tensión semántica

El rango se confunde con facilidad con invariantes relacionados (rango de tensores, rango analítico, rango numérico o rango libre sobre anillos); especificar el cuerpo o anillo subyacente y si se refiere a rango de matriz/operador/tensor evita malas interpretaciones.

Síntesis

El rango mide el tamaño de la imagen de una aplicación lineal —el número de direcciones de salida independientes— y junto con la nulidad proporciona la partición fundamental de la dimensión del dominio que rige la solvencia, la invertibilidad y el conteo de restricciones en contextos lineales.