El mayor exponente con coeficiente no nulo que aparece en un polinomio en una o varias indeterminadas; mide el orden algebraico del polinomio según la graduación elegida.

Principio

Determinar la potencia más alta de la(s) indeterminada(s) cuyo coeficiente no es cero, especificando si se trata de grado total, grado parcial por variable o grado ponderado.

Demostración

Para f(x) = 3x^4 - x + 2 sobre un cuerpo, el grado es 4 porque 3 multiplica x^4; para g(x,y)=x^2y + y^3 el grado total es 3 y el grado en x es 2.

Aplicación incorrecta

Tratar al polinomio cero como si tuviera un grado finito no negativo (por ejemplo 0) o confundir grado total con grados parciales en el caso multivariable.

Consecuencia

El grado proporciona cotas sobre el número de raíces (en cuerpos algebraicamente cerrados), controla tasas de crecimiento y determina el comportamiento del término dominante en divisiones y comparaciones asintóticas.

Inversión

En vez de medir el mayor exponente presente, se puede considerar el orden de anulación en un punto (visión tipo valoración) que registra la multiplicidad de la raíz y puede ser arbitrariamente grande pese a un grado formal bajo.

Límite

Definido respecto al anillo de coeficientes y la noción de grado elegida; requiere convención para el polinomio cero (habitualmente −∞) y difiere entre grado total, parcial y ponderado en polinomios multivariables.

Tensión semántica

El grado compite con conceptos como orden de anulación o valoración: el grado es una medida combinatoria global de los exponentes, mientras que la valoración mide la nulidad local en un punto o en una colocación.

Síntesis

El grado de un polinomio es el exponente máximo (o la medida ponderada/totalizada de exponentes) con coeficiente no nulo según una graduación elegida; resume la complejidad algebraica y el comportamiento del término dominante, con aclaraciones necesarias para el cero y los casos multivariables.