Der größte Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten in einem Polynom in einer oder mehreren Unbestimmten; er misst die algebraische Ordnung des Polynoms bezogen auf eine festgelegte Graduierung.

Prinzip

Bestimme die höchste Potenz der Unbestimmten, deren Koeffizient nicht null ist, wobei klarzustellen ist, ob nach Partiellexponenten, totalem Grad oder gewichteten Graden gemessen wird.

Demonstration

Für f(x) = 3x^4 - x + 2 über einem Körper ist der Grad 4, weil 3 vor x^4 steht; für g(x,y)=x^2y + y^3 ist der totale Grad 3 und der Grad in x gleich 2.

Fehlanwendung

Den Nullpolynom fälschlich als endlichen nichtnegativen Grad (z. B. 0) ansehen oder totalen Grad und partielle Grade in mehrvariablen Fällen verwechseln.

Konsequenz

Der Grad liefert Schranken für die Anzahl der Nullstellen (über algebraisch abgeschlossenen Körpern), beschreibt Wachstumsverhalten und bestimmt das Verhalten des Leitterms bei Division und Asymptotik.

Umkehrung

Statt den maximalen Exponenten zu messen, betrachtet man die Vanishing-Order an einer Stelle (valuationartige Sicht), die die Nullstellenmultiplizität angibt und unabhängig vom formalen Grad groß sein kann.

Abgrenzung

Der Begriff ist relativ zum Koeffizientenring und zur gewählten Graddefinition; für das Nullpolynom benötigt man eine Konvention (häufig −∞), und bei mehr Variablen unterscheidet sich totaler, partieller und gewichteter Grad.

Semantische Spannung

Der Grad steht in Spannung zu Konzepten wie Bewertungsordnung oder Vanishing-Order: Grad ist eine globale kombinatorische Messung von Exponenten, während die Order lokale Verschwindensordnung erfasst.

Synthese

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent (oder die gewichtete/totalisierte Exponentenmessung) mit nicht verschwindendem Koeffizienten nach gewählter Graduierung; er fasst die algebraische Komplexität und das Leitverhalten zusammen und erfordert Konventionen für Null und Mehrvariablenfälle.