Eine Kurve auf einer Fläche, entlang der die Fläche in der Lage stetig bleibt, aber die Tangentialebene (oder die erste Ableitung) einen Sprung an der Kurve aufweist, wodurch eine Falte oder ein scharfer Richtungswechsel entsteht, während die Positionsabbildung stetig ist.

Prinzip

Definiert durch stückweise-glatte Struktur: Zwei glatte Flächenstücke treffen sich stetig entlang einer gemeinsamen Kurve, jedoch mit einem von Null verschiedenen Dihedralwinkel oder einer Diskrepanz der Tangentialebenen, so dass die ersten Ableitungen über die Faltenlinie springen.

Demonstration

Ein gefaltetes Papierblatt: Die Fläche ist an der Faltlinie stetig, aber der Normalenvektor springt; in der Polyedergeometrie ist eine dihedralkante zwischen ebenen Facetten ein prototypischer Faltlinie.

Fehlanwendung

Regionen hoher Krümmung oder kuspidale Kanten als Falte zu bezeichnen, obwohl keine echte Diskontinuität der Tangentialebene vorliegt; eine glatt scharfe Kante (stetige Tangente, große Krümmung) mit einer Falte (Tangenten-Sprung) zu verwechseln.

Konsequenz

Falten verändern geodätisches Verhalten und mechanische Reaktion: Geodäten können an der Falte reflektiert werden, Biegeenergie konzentriert sich entlang der Linie in elastischen Modellen, und numerische Diskretisierungen müssen die Diskontinuität berücksichtigen, um genaue Simulationen zu liefern.

Umkehrung

Eine glatte Verbindung: Patches, die sich mit übereinstimmenden Tangentialebenen treffen, so dass die ersten Ableitungen stetig sind und keine Falte oder dihedraler Sprung entlang der gemeinsamen Kurve vorhanden ist.

Abgrenzung

Bezieht sich auf Positionsstetigkeit mit Diskontinuität der ersten Ableitung; schließt Selbstüberschneidungen (mehrfache Urbilder), kuspidale Kanten (cuspide Singularitäten) und rein krümmungskonzentrische Grate ohne Tangenten-Diskontinuität aus.

Semantische Spannung

Spannung im Vokabular Grat/Falte: Eine Falte ist durch einen Sprung in der Tangentenorientierung gekennzeichnet, während ein Grat die Krümmungskonzentration betont; beide erzeugen visuell scharfe Merkmale, unterscheiden sich jedoch in der differenziellen Regularität.

Synthese

Eine Faltlinie ist eine Linie, an der die Fläche in der Position stetig ist, deren Tangentialebene jedoch eine Diskontinuität aufweist; realisiert durch zwei glatt parametrisierte Patches, die sich mit einem nichttrivialen Dihedralwinkel treffen und eine Falte mit konzentriertem Sprung der ersten Ableitung erzeugen.