Suite exacte longue en (co)homologie associée à un fibré en sphères orienté (ou plus généralement à un fibré orienté adapté) reliant la cohomologie de l'espace total, de la base et de la fibre par les morphismes de tiré en arrière, poussé (intégration le long de la fibre, application de Gysin) et le cup-produit avec la classe d'Euler.

Principe

L'intégration le long de la fibre (application de Gysin) conjuguée au cup-produit par des classes caractéristiques (notamment la classe d'Euler pour les fibrés en sphères) fournit des morphismes de raccordement qui assurent l'exactitude et mettent en relation les décalages de degrés en cohomologie entre espace total et base.

Démonstration

Pour un fibré orienté S^n, p : E → B, on dispose d'une suite exacte de Gysin ... → H^k(B) → H^{k+n+1}(B) → H^{k+n+1}(E) → H^{k+1}(B) → ... où l'application de raccordement est le cup-produit par la classe d'Euler et le poussé est donné par l'intégration sur la fibre ; dans le cas d'un fibré en cercles cela se relie à la première classe de Chern.

Mauvaise application

Employer la suite de Gysin pour des fibrés non orientés (sans coefficients locaux appropriés), l'utiliser avec des décalages de degrés erronés ou considérer la classe d'Euler comme triviale alors qu'elle ne l'est pas conduit à des calculs cohomologiques incorrects.

Conséquence

Fournit une relation calculable permettant de déterminer la cohomologie de E à partir de celle de B (et réciproquement) lorsque les classes caractéristiques et les applications pushforward sont connues ; elle fournit des obstructions à la trivialité du fibré et détecte des classes non triviales issues de la fibre.

Inversion

Si le fibré est trivial la suite de Gysin se scinde et la cohomologie de l'espace total s'exprime comme le produit tensoriel de celles de la base et de la fibre ; inverser l'orientation ou le signe de la classe d'Euler inverse certaines applications de raccordement.

Limite

Valable pour les fibrés en sphères orientés (ou fibrés orientés sous hypothèses appropriées) et dans la théorie de cohomologie et le système de coefficients choisis ; elle doit être adaptée aux fibrés non orientables (coefficients locaux), aux théories de cohomologie généralisées ou lorsque la base/fibre ne satisfont pas aux hypothèses d'orientabilité ou de finitude.

Tension sémantique

Tension entre l'usage de la suite de Gysin comme outil exact de calcul et l'usage de suites spectrales (par ex. Leray–Serre) qui calculent les mêmes groupes via des filtrations ; chaque méthode met en avant des structures distinctes (exactitude versus filtration et approximations successives).

Synthèse

La suite de Gysin organise la façon dont les classes de cohomologie de la base et de la fibre se combinent dans l'espace total via l'intégration sur la fibre et le cup-produit par les classes caractéristiques, offrant des relations exactes qui détectent la non-trivialité du fibré et calculent la cohomologie d'une fibration.