Una secuencia exacta larga en (co)homología asociada a un fibrado en esferas orientado (o, en general, a un fibrado de fibra adecuada y orientado) que relaciona la cohomología del espacio total, de la base y de la fibra mediante tirada atrás, empuje (integración a lo largo de la fibra, aplicación de Gysin) y producto cup con la clase de Euler.

Principio

La integración a lo largo de la fibra (la aplicación de Gysin) junto con el producto cup por clases características (en particular la clase de Euler para fibrados en esferas) produce morfismos de conexión que garantizan la exactitud y relacionan desplazamientos de grado en la cohomología entre espacio total y base.

Demostración

Para un fibrado orientado S^n, p: E → B, existe una secuencia larga de Gysin ... → H^k(B) → H^{k+n+1}(B) → H^{k+n+1}(E) → H^{k+1}(B) → ... en la que el morfismo de conexión es el producto cup con la clase de Euler y el empuje aparece como la integración sobre la fibra; en el caso de fibrados en círculos esto se relaciona con la primera clase de Chern.

Aplicación incorrecta

Usar la secuencia de Gysin para fibrados no orientados (sin coeficientes locales adecuados), aplicarla con desplazamientos de grado incorrectos, o tratar erróneamente la clase de Euler como trivial produce cálculos cohomológicos equivocados.

Consecuencia

Proporciona relaciones computables que permiten determinar la cohomología de E a partir de la de B (y viceversa) cuando se conocen las clases características y las aplicaciones de empuje; da obstrucciones a la trivialidad del fibrado y detecta clases no triviales procedentes de la fibra.

Inversión

Si el fibrado es trivial, la secuencia de Gysin se divide y la cohomología del espacio total se expresa como el producto tensorial de las cohomologías de la base y de la fibra; invertir la orientación o el signo de la clase de Euler invierte ciertos morfismos de conexión.

Límite

Válida para fibrados en esferas orientados (o fibrados de fibra orientada bajo hipótesis apropiadas) y dentro de la teoría de cohomología y sistema de coeficientes elegidos; debe modificarse para fibrados no orientables (coeficientes locales), teorías de cohomología generalizadas o cuando la base/fibra no cumplen hipótesis de orientabilidad o finitud.

Tensión semántica

Tensión entre usar la secuencia de Gysin como herramienta exacta de cálculo y emplear sucesiones espectrales (p. ej. Leray–Serre) que calculan los mismos grupos mediante filtraciones; cada herramienta enfatiza estructuras distintas (exactitud frente a filtración y aproximaciones sucesivas).

Síntesis

La secuencia de Gysin organiza cómo las clases de cohomología de la base y de la fibra se combinan en el espacio total mediante la integración de la fibra y el producto cup con clases características, ofreciendo relaciones exactas que detectan la no trivialidad del fibrado y permiten calcular la cohomología de una fibración.