Un sous-ensemble E du bord ∂Ω d'un domaine Ω tel que la mesure harmonique ω^x(E) soit nulle pour un point intérieur de référence x (ou pour toutes les mesures harmoniques issues de points intérieurs) ; équivalemment, E reçoit probabilité nulle d'être atteint par le mouvement brownien lancé en x lors de la première sortie de Ω.

Principe

La mesure harmonique encode la manière dont les fonctions harmoniques sur Ω prennent leurs valeurs au bord et comment les trajectoires browniennes sortent de Ω ; un sous-ensemble de mesure harmonique nulle ne porte aucune masse pour l'intégrale de Poisson et est négligeable pour le comportement harmonique au bord par rapport au point de référence choisi.

Démonstration

Sur le disque unité, un sous-ensemble fermé du cercle de mesure de Lebesgue nulle peut être construit (par application conforme ou construction) pour avoir mesure harmonique nulle relativement au centre ; le mouvement brownien lancé au centre sort presque sûrement en dehors de ce sous-ensemble.

Mauvaise application

Assimiler mesure harmonique nulle à d'autres notions de petitesse comme mesure de Lebesgue nulle ou dimension de Hausdorff nulle dans tous les contextes ; la mesure harmonique reflète une géométrie conforme/potentielle et peut diffèrer substantiellement de ces autres mesures.

Conséquence

Si un sous-ensemble du bord a mesure harmonique nulle, les fonctions harmoniques bornées ne sont pas affectées si l'on impose des valeurs bornées arbitraires sur ce sous-ensemble (elles ne modifient pas l'extension de Poisson), et probabilistiquement le sous-ensemble est presque jamais l'endroit de sortie du mouvement brownien du domaine.

Inversion

Un ensemble de mesure harmonique positive : un sous-ensemble du bord qui reçoit une masse positive pour la mesure harmonique et influence ainsi les extensions harmoniques et les distributions de sortie brownienne.

Limite

Dépend du domaine Ω et du choix du point de référence pour la mesure harmonique ; le fait d'avoir mesure harmonique nulle n'est pas une propriété intrinsèque de l'ensemble isolé de son inclusion dans ∂Ω et du contexte potentielle-théorique.

Tension sémantique

La tension est entre la petitesse au sens mesurable (Lebesgue ou Hausdorff) et la petitesse au sens potentielle-théorique (mesure harmonique ou capacité) ; des ensembles petits pour l'une de ces notions peuvent ne pas l'être pour l'autre, d'où l'importance du contexte.

Synthèse

Un ensemble de mesure harmonique nulle est un sous-ensemble du bord qui ne porte aucune masse pour la mesure harmonique du domaine, c'est‑à‑dire négligeable pour la représentation de Poisson des fonctions harmoniques et presque sûrement non atteint par la sortie brownienne, mais sa petitesse s'apprécie seulement par rapport au domaine et à la géométrie potentielle.