Un subconjunto E del borde ∂Ω de un dominio Ω tal que la medida armónica ω^x(E) es cero para un punto interior de referencia x (o para las medidas armónicas desde todos los puntos interiores); equivalentemente, E recibe probabilidad cero de ser alcanzado por el movimiento browniano iniciado en x al salir por primera vez de Ω.

Principio

La medida armónica codifica cómo las funciones armónicas en Ω toman valores en el borde y cómo las trayectorias brownianas salen de Ω; un subconjunto de medida armónica cero no aporta masa a la integral de Poisson y es despreciable para el comportamiento armónico de frontera respecto al punto base elegido.

Demostración

En el disco unidad, un subconjunto cerrado del círculo de medida de Lebesgue cero puede disponerse (por mapeo conforme o construcción) para tener medida armónica cero respecto al centro; el movimiento browniano iniciado en el centro sale casi siempre por puntos distintos de ese subconjunto.

Aplicación incorrecta

Igualar medida armónica cero con otras nociones de pequeñez como medida de Lebesgue cero o dimensión de Hausdorff cero en todos los contextos; la medida armónica refleja geometría conforme/potencial y puede diferir sustancialmente de esas otras medidas.

Consecuencia

Si un conjunto del borde tiene medida armónica cero, las funciones armónicas acotadas no se ven afectadas por imponer valores acotados arbitrarios en ese conjunto (no cambian la extensión de Poisson), y probabilísticamente ese conjunto casi nunca es el lugar de salida del movimiento browniano del dominio.

Inversión

Un conjunto de medida armónica positiva: un subconjunto del borde que recibe masa positiva según la medida armónica y por tanto influye en las extensiones armónicas y en las distribuciones de salida browniana.

Límite

Depende del dominio Ω y de la elección del punto de referencia para la medida armónica; tener medida armónica cero no es una propiedad intrínseca del conjunto aislada de su inclusión en ∂Ω y del contexto potencial-teórico.

Tensión semántica

La tensión está entre la pequeñez desde la medida (Lebesgue o Hausdorff) y la pequeñez desde la teoría del potencial (medida armónica o capacidad); conjuntos pequeños en un sentido pueden no serlo en el otro, por lo que el contexto importa.

Síntesis

Un conjunto de medida armónica cero es un subconjunto del borde que no transporta masa para la medida armónica del dominio, es decir, es despreciable para la representación de Poisson de funciones armónicas y casi seguro no es alcanzado por la salida browniana, aunque su pequeñez debe juzgarse respecto al dominio y a la geometría potencial.