Un point de la frontière x d'un domaine D (généralement un ouvert connexe d'un espace métrique ou topologique) pour lequel il existe une application continue injective γ : [0,1] → D avec γ(0) dans D et γ(1) = x, c'est‑à‑dire que x est l'extrémité, dans l'adhérence de D, d'un arc simple contenu entièrement dans D.

Principe

L'accessibilité est la propriété d'être atteint comme la limite d'un chemin simple venant de l'intérieur ; elle se caractérise par l'existence d'un arc continu contenu dans le domaine et terminant en ce point.

Démonstration

Dans le disque unité du plan, tout segment radial t ↦ (1−t)z pour un point de frontière fixé z ∈ S^1 est un arc continu dans le disque qui aboutit en z, donc chaque point de la frontière du disque est accessible par un arc radial. En revanche, dans un plan avec une fente ou une spirale intérieure, l'extrémité d'une spirale peut être inaccessible.

Mauvaise application

Considérer comme accessibles tous les points d'accumulation ou de l'adhérence de D ; un point limite de D n'admet pas nécessairement un arc simple issu de D qui aboutit en ce point, donc confondre adhérence et accessibilité est une erreur.

Conséquence

Si un point de la frontière est accessible, les valeurs au bord des fonctions définies sur D peuvent souvent s'interpréter en suivant l'arc ; en analyse complexe cela facilite la construction de limites le long de courbes et l'identification d'extrémités principales (prime ends).

Inversion

L'opposé conceptuel est un point inaccessible, un point de la frontière qui ne peut être l'extrémité d'aucun arc continu contenu dans le domaine ; accessibilité et inaccessibilité classent les modes d'approche par des courbes simples.

Limite

La notion présuppose un espace métrique ou au moins un domaine admettant des arcs ; dans des espaces topologiques très généraux sans notion d'arc ou pour des ensembles disconnexes le terme peut perdre son sens ou demander une adaptation.

Tension sémantique

L'accessibilité entre en tension avec les notions d'approche par suites ou par courbes non simples : un point peut être atteignable par des suites dans D mais ne pas être accessible par aucun arc simple, opposant ainsi approches séquentielles et chemines.

Synthèse

Un point accessible est un point de la frontière d'un domaine atteignable par une courbe continue simple issue de l'intérieur du domaine ; il s'agit d'une qualification topologique plus forte que l'appartenance à l'adhérence et plus faible que la régularité de la frontière.