Ein Randpunkt x einer Menge D (typischerweise eine offene zusammenhängende Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raums), für den eine stetige injektive Abbildung γ : [0,1] → D mit γ(0) in D und γ(1) = x existiert, also x das Endpunkt in der Abschlussmenge von D eines einfachen Bogens ist, der vollständig in D liegt.

Prinzip

Zugänglichkeit ist die Eigenschaft, als Grenzwert eines einfachen Weges aus dem Inneren realisierbar zu sein; sie ist durch die Existenz eines stetigen, im Gebiet liegenden Bogens charakterisiert, der in diesem Punkt endet.

Demonstration

In der Einheitskreisscheibe in der Ebene ist jedes radiale Segment t ↦ (1−t)z für einen festen Randpunkt z ∈ S^1 ein stetiger Bogen in der Scheibe, der in z endet; daher ist jeder Randpunkt der Scheibe über ein radiales Segment zugänglich. Dagegen kann in einer gespaltenen Ebene oder bei einer nach innen windenden Spirale die Spitze nicht zugänglich sein.

Fehlanwendung

Alle Häufungspunkte oder Randpunkte von D als zugänglich zu behandeln; ein Häufungspunkt von D muss nicht der Endpunkt eines einfachen Bogens aus D sein, daher ist die Gleichsetzung von Abschluss und Zugänglichkeit falsch.

Konsequenz

Ist ein Randpunkt zugänglich, so lassen sich Randwerte von auf D definierten Funktionen oft durch folgen des Bogens interpretieren; in der Funktionentheorie unterstützt dies die Bestimmung von Randwerten entlang Kurven und die Zuordnung zu Prime Ends.

Umkehrung

Das konzeptionelle Gegenteil ist ein unzugänglicher Punkt, ein Randpunkt, der nicht Endpunkt irgendeines in D liegenden stetigen Bogens sein kann; Zugänglichkeit und Unzugänglichkeit trennen mögliche einfache Kurvenanäherungen.

Abgrenzung

Die Definition setzt einen metrischen Raum oder zumindest ein Gebiet voraus, in dem Bögen Sinn machen; in allgemeineren topologischen Räumen ohne Bogenbegriff oder bei nicht zusammenhängenden Mengen ist der Begriff möglicherweise nicht anwendbar oder muss angepasst werden.

Semantische Spannung

Zugänglichkeit steht im Spannungsverhältnis zu Annäherungen durch Folgen oder nicht-einfache Kurven: Ein Punkt kann durch Folgen aus D erreichbar sein, ohne durch irgendeinen einfachen Bogen erreichbar zu sein, wodurch sequenzielle und wegbezogene Begriffe konkurrieren.

Synthese

Ein zugänglicher Punkt ist ein Randpunkt eines Gebietes, der durch einen einfachen stetigen Weg aus dem Innern des Gebietes erreicht werden kann; dies ist eine topologische Feinheit, die über der bloßen Zugehörigkeit zum Abschluss liegt.