Résultat de topologie géométrique affirmant que, sous des hypothèses de régularité et de compacité appropriées, toute isotopie d'un sous‑espace ou d'une sous‑variété à l'intérieur d'une varié té s'étend en une isotopie ambiante de la variété entière ; autrement dit, une déformation de l'inclusion se réalise par une déformation de l'application identité ambiante supportée dans un voisinage du sous‑espace.

Principe

Une isotopie d'une sous‑variété immergée peut être relevée en une isotopie ambiante en utilisant un voisinage tubulaire et en faisant défiler la variété ambiante par un champ de vecteurs adapté, de sorte que l'inclusion à chaque instant soit l'image de l'inclusion initiale par le difféomorphisme/homeomorphisme ambiant. L'idée organisatrice est la trivialité locale du fibré normal et le contrôle du support compact.

Démonstration

Soit S^1 plongé lisse dans R^3. Une isotopie lisse du cercle à l'intérieur de R^3 qui déplace le cercle par des plongements peut être étendue en une isotopie lisse de R^3 qui est l'identité en dehors d'un petit voisinage tubulaire du cercle en mouvement : on construit un champ de vecteurs dépendant du temps, supporté dans ce voisinage, dont le flot réalise le mouvement prescrit du cercle.

Mauvaise application

Supposer que le théorème vaut pour des plongements sauvages, des supports non compacts sans contrôle de propreté, ou transposer sans précautions un argument lisse au seul cadre topologique conduit à des erreurs ; de même, tenter une extension sans garantir l'existence d'un voisinage tubulaire ou d'un fibré normal peut échouer.

Conséquence

On obtient l'invariance par isotopie ambiante des invariants de type plongement et la possibilité d'élever des manipulations locales de sous‑variétés en difféomorphismes/homeomorphismes ambiants globaux ; cela sert de fondement à la classification paramétrée des plongements et à de nombreuses démonstrations reliant équivalences locales et équivalences ambiantes.

Inversion

Restreindre une isotopie ambiante à un sous‑espace produit une isotopie du sous‑espace ; cette inversion montre que les isotopies ambiantes portent plus d'information et que l'existence d'une isotopie de sous‑espace n'est pas suffisante pour récupérer l'information ambiante sans hypothèses d'extension.

Limite

S'applique dans les catégories (lisse, PL, topologique) lorsque les plongements sont tamisés, que le sous‑espace possède un voisinage modélisé par un fibré normal ou un voisinage régulier, et typiquement lorsque les isotopies ont un support compact ; exclut les plongements sauvages, certaines situations non localement plates et les cadres ambiants non compacts sans hypothèses de propreté.

Tension sémantique

La tension provient de la différence entre isotopie ambiante et notions plus faibles comme la concordance ou la simple homotopie de l'inclusion ; des résultats voisins incluent l'astuce d'Alexander (cas particuliers dans les disques) et les variantes d'extension d'isotopie selon les catégories qui diffèrent par leurs hypothèses.

Synthèse

Le Théorème d'Extension d'Isotopie formalise le passage d'une déformation contrôlée d'une sous‑variété à une déformation contrôlée de la variété ambiante en exploitant la structure locale produit/voisinage et le support compact, reliant ainsi le mouvement géométrique local aux transformations ambiantes globales.