Resultado de topología geométrica que afirma que, bajo hipótesis adecuadas de regularidad y compacidad, cualquier isotopía de un subespacio o subvariedad dentro de una variedad se extiende a una isotopía ambiente de la variedad entera; es decir, una deformación de la inclusión puede realizarse por una deformación de la identidad ambiente con soporte en un vecindario del subespacio.

Principio

Una isotopía de una subvariedad embebida puede promoverse a una isotopía ambiente mediante el uso de un vecindario tubular y el flujo de un campo vectorial dependiente del tiempo que haga coincidir la inclusión en cada instante con la imagen de la inclusión inicial por un difeomorfismo/homeomorfismo ambiente. La idea organizadora es la trivialidad local del fibrado normal y el control del soporte compacto.

Demostración

Sea S^1 embebido suavemente en R^3. Una isotopía suave del círculo que lo mueve mediante embebimientos puede extenderse a una isotopía suave de R^3 que es la identidad fuera de un pequeño vecindario tubular del círculo en movimiento: se construye un campo vectorial dependiente del tiempo, soportado en ese vecindario, cuyo flujo realiza el movimiento prescrito.

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema vale para embebimientos salvajes, soportes no compactos sin control de propriedad, o aplicar sin cuidado un argumento suave en el marco puramente topológico conduce a conclusiones erróneas; asimismo, intentar la extensión sin asegurar un vecindario tubular o un fibrado normal puede fracasar.

Consecuencia

Se obtiene la invariancia por isotopía ambiente de invariantes de tipo embebimiento y la capacidad de elevar manipulaciones locales de subvariedades a difeomorfismos/homeomorfismos ambientes globales; esto sustenta la clasificación parametrizada de embebimientos y muchas demostraciones que relacionan equivalencias locales con equivalencias ambientes.

Inversión

Restringir una isotopía ambiente a un subespacio produce una isotopía del subespacio; la inversión enfatiza que las isotopías ambientes contienen más datos y que la existencia de una isotopía del subespacio no basta para recuperar la información ambiente sin hipótesis de extensión.

Límite

Se aplica en las categorías (suave, PL, topológica) cuando las embebiciones son manejables, cuando el subespacio tiene un vecindario modelado por un fibrado normal o un vecindario regular, y típicamente cuando las isotopías tienen soporte compacto; excluye embebimientos salvajes, ciertas situaciones no localmente planas y contextos ambientes no compactos sin hipótesis de properidad.

Tensión semántica

La tensión surge entre la isotopía ambiente y nociones más débiles como la concordancia o la mera homotopía de la inclusión; resultados relacionados incluyen el truco de Alexander (casos en discos) y las variantes de extensión de isotopía según la categoría considerada.

Síntesis

El Teorema de Extensión de Isotopía concreta cómo elevar una deformación controlada de una subvariedad a una deformación controlada del entorno completo mediante la estructura local de vecindario y el control del soporte, conectando así el movimiento geométrico local con transformaciones ambientes globales.