Un isomorphisme sur une variété fermée et orientée de dimension n qui met en correspondance l'homologie H_k(M;R) avec la cohomologie H^{n-k}(M;R) par le produit chapeau avec une classe fondamentale choisie, fournissant des accouplements parfaits sous des coefficients appropriés.

Principe

Une classe fondamentale orientée en homologie de plus haut degré fournit un isomorphisme d'évaluation entre l'homologie et la cohomologie de degré complémentaire ; l'orientation et la compacité sans bord sont les hypothèses organisatrices qui garantissent la non-dégénérescence du produit chapeau.

Démonstration

Sur une surface fermée orientée de genre g, H_1 se couple à H^1 via la forme d'intersection déterminée par la classe fondamentale ; sur S^n, H_0 se couple à H^n et tous les groupes intermédiaires s'annulent comme le prédit la dualité de Poincaré.

Mauvaise application

Appliquer la dualité de Poincaré à des variétés non compactes, à des variétés à bord sans utiliser la dualité relative ou la cohomologie à support compact, ou à des variétés non orientables sans coefficients tordus conduit à des conclusions fausses sur les isomorphismes de groupes.

Conséquence

Bien appliquée, elle implique des symétries entre nombres de Betti, contraint les groupes d'homologie possibles pour des variétés fermées orientées, et permet de calculer des invariants (par exemple formes d'intersection, signature) révélateurs de la structure de la variété.

Inversion

L'inversion serait d'attendre un accouplement global homologie–cohomologie dans des espaces dépourvus de classe fondamentale (espaces non compacts ou non orientés) ; l'échec de la dualité dans ces cas signale la nécessité de conditions aux bords ou de coefficients tordus.

Limite

Valable pour des variétés fermées orientées de dimension n avec des coefficients dans un anneau où la classe d'orientation existe ; doit être adaptée pour les variétés à bord (dualité relative), pour les variétés non orientables (systèmes de coefficients locaux) ou pour les espaces non compacts (cohomologie à support compact).

Tension sémantique

En tension avec d'autres énoncés de dualité en topologie algébrique (dualité d'Alexander, dualité de Lefschetz, dualité de Verdier) qui valent dans des contextes différents ; la tension porte sur la dualité globale orientée pour variétés versus les dualités adaptées aux plongements, bords ou faisceaux.

Synthèse

La dualité de Poincaré identifie l'homologie en degré k avec la cohomologie au degré complémentaire sur une variété fermée orientée par la classe fondamentale, traduisant orientation et compacité en un accouplement bilinéaire non dégénéré gouvernant les invariants de la variété.