Un isomorfismo en una variedad cerrada orientada de dimensión n que empareja la homología de grado k H_k(M;R) con la cohomología de grado (n−k) H^{n-k}(M;R) mediante el producto cap con una clase fundamental elegida, proporcionando emparejamientos perfectos con coeficientes adecuados.

Principio

Una clase fundamental orientada en la homología de grado superior da una isomorfía de evaluación entre homología y cohomología de grado complementario; la orientación y la compacidad sin borde son las hipótesis organizadoras que hacen no degenerado el producto cap.

Demostración

En una superficie cerrada orientada de género g, H_1 se empareja con H^1 mediante la forma de intersección determinada por la clase fundamental; en S^n, H_0 se empareja con H^n y los grupos intermedios se anulan como predice la dualidad de Poincaré.

Aplicación incorrecta

Aplicar la dualidad de Poincaré a variedades no compactas, a variedades con borde sin usar la dualidad relativa o la cohomología con soporte compacto, o a variedades no orientables sin coeficientes locales conduce a conclusiones erróneas sobre isomorfismos de grupos.

Consecuencia

Bien aplicada, implica simetrías entre números de Betti, restringe los grupos de homología posibles para variedades cerradas orientadas y permite calcular invariantes (por ejemplo formas de intersección, firma) que detectan la estructura de la variedad.

Inversión

La inversión sería esperar un emparejamiento global homología–cohomología en espacios sin clase fundamental (espacios no compactos o no orientables); el fallo de la dualidad en esos casos indica la necesidad de condiciones en el borde o de coeficientes torsionados.

Límite

Se cumple para variedades cerradas orientadas de dimensión n con coeficientes en un anillo donde existe la clase de orientación; debe modificarse para variedades con borde (dualidad relativa), para variedades no orientables (sistemas de coeficientes locales) o para espacios no compactos (cohomología con soporte compacto).

Tensión semántica

Compite con otros enunciados de dualidad en topología algebraica (dualidad de Alexander, dualidad de Lefschetz, dualidad de Verdier) que se aplican en contextos distintos; la tensión es entre la dualidad global orientada de variedades y dualidades adaptadas a incrustaciones, bordes o contextos faiscarios.

Síntesis

La dualidad de Poincaré identifica la homología en grado k con la cohomología en grado complementario en una variedad cerrada orientada mediante la clase fundamental, traduciendo la orientación y la compacidad en un emparejamiento bilineal no degenerado que gobierna los invariantes de la variedad.