Propriété topologique : un espace possède la propriété de Fréchet–Urysohn si, chaque fois qu'un point x appartient à l'adhérence d'un sous-ensemble A, il existe une suite de points de A convergeant vers x ; équivalemment, l'adhérence séquentielle de tout ensemble coïncide avec son adhérence.

Principe

Les suites suffisent à détecter l'adhérence : les limites de suites prises dans un ensemble retrouvent tous les points d'adhérence, de sorte que les méthodes séquentielles remplacent les filets ou filtres pour les questions d'adhérence.

Démonstration

Tout espace métrique (et plus généralement tout espace de première dénombrabilité) est de Fréchet–Urysohn : si x appartient à l'adhérence de A, on prend une base locale dénombrable en x et l'on choisit dans chaque voisinage un point de A pour construire une suite convergente.

Mauvaise application

Prétendre qu'un espace est de Fréchet–Urysohn parce qu'il est séquentiel ou parce que des preuves utilisant des suites fonctionnent dans un exemple particulier ; les espaces séquentiels sont une notion plus faible et il existe des espaces séquentiels non Fréchet–Urysohn.

Conséquence

De nombreux arguments classiques sont simplifiés : travailler avec des suites suffit pour les vérifications d'adhérence et de continuité, et les arguments de compacité séquentielle deviennent plus puissants parce que la convergence séquentielle capture entièrement le comportement d'adhérence.

Inversion

Dans un espace non Fréchet–Urysohn il existe un point de l'adhérence d'un ensemble A qui n'est limite d'aucune suite dans A ; de tels espaces imposent l'usage de filets ou filtres et illustrent une complexité topologique réelle.

Limite

S'applique aux espaces topologiques généraux ; c'est strictement plus forte que la propriété séquentielle et strictement plus faible que la première dénombrabilité en général. Elle porte uniquement sur la détection de l'adhérence, non sur d'autres propriétés de dénombrabilité.

Tension sémantique

Conflit sémantique avec la première dénombrabilité et la notion plus large d'espace séquentiel : la première dénombrabilité implique Fréchet–Urysohn, qui implique séquentiel, mais les réciproques échouent en général, produisant des comportements distincts.

Synthèse

La propriété de Fréchet–Urysohn affirme que les suites suffisent comme témoins d'adhérence : elle rapproche l'intuition séquentielle de l'opération d'adhérence complète, permettant des techniques séquentielles là où elles pourraient autrement échouer.