Propiedad topológica: un espacio tiene la propiedad de Fréchet–Urysohn si cuando un punto x está en la clausura de un subconjunto A existe una sucesión de puntos de A que converge a x; equivalentemente, el cierre secuencial de cualquier conjunto coincide con su cierre.

Principio

Las sucesiones bastan para detectar el cierre: los límites de sucesiones tomadas del conjunto recuperan todos los puntos de la clausura, de modo que los métodos secuenciales sustituyen a redes o filtros en cuestiones de clausura.

Demostración

Todo espacio métrico (y más generalmente todo espacio de primera numerabilidad) es de Fréchet–Urysohn: si x está en la clausura de A, se elige una base local numerable en x y se toman puntos de A en cada vecindad para construir una sucesión convergente.

Aplicación incorrecta

Asumir que un espacio es de Fréchet–Urysohn porque es secuencial o porque en ejemplos concretos las pruebas con sucesiones funcionan; los espacios secuenciales son una noción más débil y existen espacios secuenciales que no son de Fréchet–Urysohn.

Consecuencia

Se simplifican muchos argumentos clásicos: trabajar con sucesiones basta para verificaciones de clausura y continuidad, y los argumentos de compacidad secuencial se fortalecen porque la convergencia secuencial captura completamente el comportamiento de clausura.

Inversión

En un espacio no Fréchet–Urysohn existe un punto en la clausura de A que no es límite de ninguna sucesión de A; tales espacios obligan a usar redes o filtros y evidencian complejidad topológica genuina.

Límite

Se aplica a espacios topológicos generales; es estrictamente más fuerte que ser secuencial y estrictamente más débil que la primera numerabilidad en general. Trata solo la detección de clausura, no otras propiedades de numerabilidad.

Tensión semántica

Tensión semántica con la primera numerabilidad y la noción más amplia de espacios secuenciales: la primera numerabilidad implica Fréchet–Urysohn, que implica secuencial, pero las recíprocas fallan en general, produciendo comportamientos distintos.

Síntesis

La propiedad de Fréchet–Urysohn afirma que las sucesiones son testigos suficientes de clausura: estrecha la brecha entre la intuición secuencial y la operación completa de clausura topológica, permitiendo técnicas secuenciales donde de otro modo no serían válidas.