L'Étendue E(X) d'un espace topologique X est la borne supérieure des cardinalités des sous-espaces discrets fermés de X ; en d'autres termes le plus grand cardinal κ tel que X contient un sous-ensemble discret fermé de cardinalité κ.

Principe

L'étendue mesure la taille maximale d'une configuration discrète qui demeure fermée dans l'espace ambiant ; elle contrôle la taille maximale des morceaux isolés et fermés.

Démonstration

Un espace discret fermé de cardinal κ a E(X)=κ. Dans de nombreux espaces métriques séparables tout sous-espace discret fermé est dénombrable, donc E(X)=ℵ0 pour ces espaces.

Mauvaise application

Confondre l'étendue avec le spread (qui admet des sous-espaces discrets non nécessairement fermés) ou avec la densité (qui est la taille minimale d'un ensemble dense) conduit à des erreurs ; considérer des ensembles discrets non fermés comme contribuant à l'étendue est faux.

Conséquence

L'étendue borne les tailles possibles de configurations discrètes fermées et affecte compacité, propriétés de Lindelöf et arguments de séparation ; une faible étendue peut empêcher de grands obstacles discrets fermés à des propriétés de type compacité.

Inversion

Remplacer « discret fermé » par « discret arbitraire » donne le spread ; considérer les tailles minimales de discret fermé (infimum) donne des invariants différents avec un comportement qualitatif opposé.

Limite

S'applique aux espaces topologiques et se limite aux sous-espaces discrets fermés ; il exclut les sous-espaces discrets non fermés et ne dit rien directement sur les familles d'ouverts ou les réseaux.

Tension sémantique

L'étendue se compare souvent au spread : les deux mesurent des configurations discrètes, mais l'étendue exige la fermeté. Il existe une tension avec des invariants liés à la compacité car l'étendue contraint les obstacles discrets fermés à la compacité.

Synthèse

L'Étendue E(X) est la cardinalité suprême des sous-espaces discrets fermés de X ; elle quantifie la taille maximale de collections discrètes qui sont fermées et mesure ainsi la structure isolée et fermée à l'intérieur de l'espace.