La Extensión E(X) de un espacio topológico X es el supremo de las cardinalidades de los subespacios discretos cerrados de X; equivalentemente, el mayor cardinal κ tal que X contiene un subconjunto discreto y cerrado de cardinalidad κ.

Principio

La extensión mide cuán grande puede ser una configuración discreta permaneciendo cerrada en el espacio ambiente; controla el tamaño máximo de piezas aisladas cerradas.

Demostración

Un espacio discreto cerrado de cardinal κ tiene E(X)=κ. En muchos espacios métricos separables todo subespacio discreto cerrado es numerable, por lo que E(X)=ℵ0 en esos casos.

Aplicación incorrecta

Confundir extensión con spread (que permite subespacios discretos no necesariamente cerrados) o con densidad (que mide tamaños mínimos de conjuntos densos) conduce a conclusiones erróneas; no es correcto contar conjuntos discretos no cerrados como contribuyentes a la extensión.

Consecuencia

La extensión limita los tamaños posibles de configuraciones discretas cerradas y afecta la compacidad, propiedades tipo Lindelöf y argumentos de separación; una pequeña extensión puede evitar grandes obstrucciones discretas cerradas a propiedades de compacidad.

Inversión

Sustituir 'discreto cerrado' por 'discreto arbitrario' produce el spread; considerar tamaños mínimos de discretos cerrados (ínfimo) da invariantes distintos con comportamiento cualitativamente opuesto.

Límite

Se aplica a espacios topológicos y se circunscribe a subespacios discretos cerrados; excluye subespacios discretos no cerrados y no dice nada directamente sobre familias de abiertos o redes.

Tensión semántica

La extensión se compara con el spread: ambos miden configuraciones discretas, pero la extensión exige cerramiento. Hay tensión con invariantes relacionados con la compacidad porque la extensión restringe obstrucciones discretas cerradas a la compacidad.

Síntesis

La Extensión E(X) es la cardinalidad suprema de los subespacios discretos cerrados de X; cuantifica el tamaño máximo de colecciones discretas que son cerradas y mide así la estructura aislada y cerrada dentro del espacio.