Le Poids Π Πw(X) d'un espace topologique X est la moindre cardinalité d'un π-réseau pour X : une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient au moins un membre de cette famille.

Principe

Le principe du Poids Π est de mesurer la taille minimale d'une collection d'ouverts non vides qui « touche » tous les ouverts non vides ; il organise la façon dont on peut échantillonner les ouverts de façon parcimonieuse tout en rencontrant tous les ouverts non vides.

Démonstration

Pour un espace discret de cardinal κ, chaque singleton est ouvert, la famille des singletons est un π-réseau et Πw(X)=κ. Pour la droite réelle R munie de la topologie usuelle, il existe un π-réseau dénombrable (par exemple les intervalles ouverts à extrémités rationnelles), donc Πw(R)=ℵ0.

Mauvaise application

Considérer des familles quelconques de parties (non ouvertes ou contenant le vide) comme π-réseaux, ou confondre Πw(X) avec le poids w(X) (taille minimale d'une base) ou le poids du réseau Nw(X) : ces confusions donnent des valeurs inexactes de l'invariant.

Conséquence

Connaître Πw(X) fournit des minorations pour d'autres invariants et peut contrôler le comportement vis-à-vis des recouvrements et des images : un petit Poids Π entraîne souvent des conséquences analogues à la séparabilité pour certaines images et sous-espaces.

Inversion

Remplacer la condition de π-réseau par celle d'une base (chaque ouvert est réunion d'éléments de la base) donne le poids ordinaire w(X) ; inverser la quantification en exigeant de grandes familles qui évitent certains ouverts mène à des notions maximales complémentaires, non au Poids Π.

Limite

S'applique aux espaces topologiques et à leur structure d'ouverts ; il présuppose la considération des ouverts non vides et des π-réseaux en particulier, et ne mesure pas les fermés, les sous-espaces discrets ou des bases algébriques à moins qu'ils ne soient exprimés comme π-réseaux.

Tension sémantique

La tension s'établit entre le Poids Π et le Poids du Réseau ou le poids ordinaire : un π-réseau ne fait que rencontrer chaque ouvert non vide, tandis qu'un réseau ou une base imposent des conditions d'inclusion plus fortes, donnant des invariants de cardinalité différents.

Synthèse

Le Poids Π est la cardinalité minimale d'une famille d'ouverts non vides rencontrant chaque ouvert non vide de X ; il traduit la capacité à échantillonner la topologie de façon plus lâche qu'une base mais suffisamment forte pour influer sur de nombreux invariants cardinaux.