El Peso Π Πw(X) de un espacio topológico X es la menor cardinalidad de una π-red para X: una familia de abiertos no vacíos tal que todo abierto no vacío en X contiene al menos un miembro de la familia.

Principio

El principio del Peso Π es cuantificar el tamaño mínimo de una colección de abiertos no vacíos que 'toquen' cada abierto no vacío; organiza cuán escasamente se puede muestrear la topología manteniendo encuentro con todos los abiertos no vacíos.

Demostración

Para un espacio discreto de cardinalidad κ cada singleton es abierto, la familia de singletons es una π-red y Πw(X)=κ. Para la recta real R con la topología usual existe una π-red numerable (por ejemplo, intervalos con extremos racionales), luego Πw(R)=ℵ0.

Aplicación incorrecta

Tratar familias arbitrarias de conjuntos (no abiertos o posiblemente vacíos) como π-redes, o confundir Πw(X) con el peso w(X) (tamaño mínimo de una base) o con el peso de la red Nw(X); tales confusiones producen valores incorrectos.

Consecuencia

Conocer Πw(X) proporciona cotas inferiores para invariantes relacionados y puede controlar el comportamiento respecto a recubrimientos y aplicaciones: un peso Π pequeño suele implicar consecuencias cercanas a la separabilidad para imágenes y subespacios.

Inversión

Si se sustituye la condición de π-red por la de base (todo abierto es unión de elementos de la base) se obtiene el peso ordinario w(X); invertir la cuantificación (exigir familias grandes que eviten ciertos abiertos) conduce a nociones máximas complementarias, no al peso Π.

Límite

Se aplica a espacios topológicos y a su estructura de abiertos; presupone la consideración de abiertos no vacíos y de π-redes en particular, y no mide conjuntos cerrados, subespacios discretos o bases algebraicas salvo que se expresen como π-redes.

Tensión semántica

Existe tensión entre el Peso Π y el Peso de Red o el peso ordinario: las π-redes sólo deben encontrarse con cada abierto no vacío, mientras que redes o bases imponen condiciones de inclusión más fuertes, produciendo distintos invariantes cardinales.

Síntesis

El Peso Π es la cardinalidad mínima de una familia de abiertos no vacíos que intersecta cada abierto no vacío de X; captura una capacidad de muestreo de la topología más laxa que una base pero suficientemente fuerte para influir en muchos invariantes cardinales.