Le cardinal minimal κ d'une famille de voisinages ouverts d'un point dont l'intersection est exactement ce singleton ; le pseudo-caractère d'un espace est le supremum des pseudo-caractères de ses points et se note ψ(x,X) ou ψ(X).

Principe

Mesure à quel point un point peut être séparé du reste de l'espace par des ouverts en comptant combien de voisinages sont nécessaires pour que leur intersection isole le point.

Démonstration

Dans les espaces T1 les singletons sont fermés, et dans de nombreux espaces usuels (espaces métrisables) on peut exhiber des familles dénombrables de voisinages dont l'intersection vaut {x}, donc ψ=ℵ0 ; dans certains produits de grande taille le pseudo-caractère peut être plus grand, reflétant la difficulté d'isoler les points par intersection d'ouverts.

Mauvaise application

Confondre pseudo-caractère et caractère local conduit à des erreurs : un point peut avoir un petit pseudo-caractère (peu d'ouverts s'intersectant en le point) mais un grand caractère (pas de petite base), donc la séparation par intersections n'implique pas la génération locale par unions.

Conséquence

Un pseudo-caractère borné implique un meilleur contrôle sur les applications séparant les points et le comportement des espaces de fonctions : un petit pseudo-caractère simplifie souvent la construction de fonctions continues séparant points et fermés.

Inversion

La situation opposée est qu'aucune petite famille de voisinages n'isole le point, de sorte que le pseudo-caractère est grand ; cela indique que les points sont difficiles à séparer topologiquement par intersections d'ouverts et complique les constructions séparatrices.

Limite

Le pseudo-caractère est un invariant de séparation relatif à T1 défini à l'aide d'intersections de voisinages ouverts ; il n'affirme rien sur les adhérences d'ensembles ni sur les π-bases et s'applique différemment en contextes non T1 où les singletons ne sont pas nécessairement fermés.

Tension sémantique

Le pseudo-caractère est en tension avec le caractère et le π-caractère : le caractère compte des générateurs par unions, le π-caractère compte des ouverts non vides rencontrant les voisinages, tandis que le pseudo-caractère compte des familles d'intersection — chacun mesure un mode différent de contrôle local.

Synthèse

Le pseudo-caractère quantifie combien d'ouverts il faut intersecter pour isoler un point ; il rend compte de la force de séparabilité fondée sur des intersections en un point et complète des invariants fondés sur des unions comme le caractère.