El cardinal mínimo κ de una familia de vecindarios abiertos de un punto cuya intersección es exactamente ese singleton; el pseudo-carácter de un espacio es el supremo de los pseudo-caracteres de sus puntos y se denota ψ(x,X) o ψ(X).

Principio

Mide cuán nítidamente puede separarse un punto del resto del espacio usando abiertos, contando cuántos vecindarios se necesitan para que su intersección aísle el punto.

Demostración

En espacios T1 los singletons son cerrados, y en muchos espacios estándar (metrizados) se pueden exhibir familias contables de vecindarios cuya intersección es {x}, por lo que ψ=ℵ0; en algunos espacios producto de gran tamaño el pseudo-carácter puede ser mayor, reflejando la dificultad de aislar puntos por intersecciones de abiertos.

Aplicación incorrecta

Confundir pseudo-carácter con carácter (tamaño de una base local) conduce a errores: un punto puede tener pseudo-carácter pequeño (pocos abiertos cuya intersección es el punto) pero carácter grande (no existe una base pequeña), por lo que la separación por intersecciones no implica generación local por uniones.

Consecuencia

Un pseudo-carácter acotado implica control sobre aplicaciones que separan puntos y el comportamiento de espacios de funciones: un pseudo-carácter pequeño suele facilitar la construcción de funciones continuas que separan puntos de conjuntos cerrados.

Inversión

La situación inversa es que ninguna familia pequeña de vecindarios aísla el punto, por lo que el pseudo-carácter es grande; esto indica que los puntos son topológicamente difíciles de separar por intersecciones de abiertos y complica construcciones separadoras de puntos.

Límite

El pseudo-carácter es un invariante de separación relativo a T1 definido por intersecciones de vecindarios abiertos; no afirma nada sobre cierres de conjuntos ni sobre π-bases y se aplica de modo distinto en contextos no T1 donde los singletons no son necesariamente cerrados.

Tensión semántica

El pseudo-carácter compite conceptualmente con el carácter y el π-carácter: el carácter cuenta generadores por uniones, el π-carácter cuenta abiertos no vacíos que alcanzan vecindarios, mientras que el pseudo-carácter cuenta familias que se intersectan — cada uno mide modos distintos de control local.

Síntesis

El pseudo-carácter cuantifica cuántos vecindarios abiertos deben intersectarse para aislar un punto; captura la fuerza de separabilidad basada en intersecciones en un punto y complementa invariantes basados en uniones como el carácter.