Le processus ou le résultat de remplacer un sous‑espace A ⊂ M par un voisinage N ⊂ M homéomorphe à une variété à bord et contenant A comme rétract par déformation ; souvent appelé voisinage régulier en cadres différentiable ou PL.

Principe

Faire d'un sous‑espace un rétract d'un voisinage de type variété afin que la structure locale de variété puisse s'étendre autour du sous‑espace, permettant l'application de techniques de variété et de transversalité.

Démonstration

Un complexe lisse plongé ou un sous‑complexe CW fini d'une variété lisse admet un voisinage tubulaire difféomorphe à un fibré de disques ; ce fibré de disques est un épaississement du sous‑complexe et en rétracte par déformation.

Mauvaise application

Supposer que tout plongement topologique admet un épaississement en variété sans vérifier les hypothèses de dimension ou de tameness, ou confondre des voisinages quelconques avec des voisinages réguliers possédant une structure produit ou de fibré.

Conséquence

Un épaississement valable fournit des coordonnées locales, des fibrés normaux ou fibrés de disques, et permet d'utiliser des invariants de variété et des techniques de chirurgie ; il facilite aussi la comparaison d'immersions par isotopie ambiante quand les voisinages sont contrôlés.

Inversion

Collapser un épaississement pour revenir au sous‑espace recouvre A à homéomorphisme par rétractation, mais l'information sur l'inclusion ambiante ou les données normales est perdue lors de ce collapse.

Limite

S'applique quand l'espace ambiant possède une structure de variété ou PL et que le sous‑espace est suffisamment tame (par exemple localement plat, CW fini, ou plongé de manière lisse) ; exclut les plongements sauvages ou les voisinages métriques généraux dépourvus de structure de variété à bord.

Tension sémantique

Proche de notions telles que voisinage régulier, voisinage tubulaire et coller ; des tensions apparaissent entre les catégories PL, lisse et topologique où l'existence et l'unicité des épaississements diffèrent et où des phénomènes sauvages peuvent invalider les épaississements simples.

Synthèse

L'épaisseur (épaississement) consiste à entourer un sous‑espace tame d'un voisinage en variété à bord rétractant sur lui, fournissant des données normales et une structure de variété nécessaires aux outils géométriques et de chirurgie tout en excluant les cas sauvages ou impossibles par dimension.