El proceso o resultado de reemplazar un subespacio A ⊂ M por un vecindario N ⊂ M que sea homeomorfo a una variedad con borde y contenga a A como retracto por deformación; a menudo llamado vecindad regular en contextos de variedad o PL.

Principio

Realizar que un subespacio sea retracto de una vecindad con estructura de variedad para que la estructura local de variedad pueda extenderse alrededor del subespacio, permitiendo aplicar técnicas de variedad y transversalidad.

Demostración

Un complejo embebido suavemente o un subcomplejo CW finito de una variedad suave admite una vecindad tubular difeomorfa a un fibrado de discos; este fibrado de discos es un engrosamiento del subcomplejo y retracta por deformación sobre él.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo embebimiento topológico admite un engrosamiento en variedad sin comprobar hipótesis de dimensión o tameness, o confundir vecindarios arbitrarios con vecindarios regulares que tienen estructuras de producto o fibrado.

Consecuencia

Un engrosamiento válido proporciona coordenadas locales, fibrados normales o fibrados de discos, y permite el uso de invariantes de variedad y técnicas de cirugía; también facilita comparar embebimientos mediante isotopía ambiente cuando los vecindarios están controlados.

Inversión

Colapsar un engrosamiento de nuevo al subespacio recupera A hasta retracto por deformación, pero se pierde la información sobre la inmersión ambiente o los datos normales en ese colapso.

Límite

Se aplica cuando el espacio ambiente tiene estructura de variedad o PL y el subespacio es suficientemente tame (por ejemplo, localmente plano, CW finito o embebido suavemente); excluye embebimientos salvajes o vecindarios métricos generales que carezcan de estructura de variedad con borde.

Tensión semántica

Próximo a las nociones de vecindario regular, vecindario tubular y collar; surgen tensiones entre las categorías PL, suave y topológica donde la existencia y unicidad de engrosamientos difieren y fenómenos salvajes pueden invalidar engrosamientos sencillos.

Síntesis

El engrosamiento es el procedimiento de rodear un subespacio tame con un vecindario que sea una variedad con borde y que retracte sobre él, proporcionando datos normales y estructura de variedad necesarios para aplicar herramientas geométricas y de cirugía, y excluyendo casos salvajes o imposibles por dimensión.