Une relation entre variétés fermées de dimension n : deux variétés fermées M et N de dimension n sont cobordantes s'il existe une variété compacte de dimension n+1, W, telle que ∂W soit la réunion disjointe ∂W ≅ M ⨿ N (en tenant compte des orientations dans la catégorie orientée).

Principe

Le cobordisme organise les variétés en classes d'équivalence en admettant une variété d'une dimension supérieure qui « interpole » entre elles via son bord ; c'est une relation d'équivalence qui conduit à des structures algébriques (groupes de cobordisme) pour l'union disjointe et l'opération bord.

Démonstration

Le cercle S^1 est cobordant à la variété vide en dimension 1 car le disque D^2 est une variété compacte de dimension 2 dont le bord ∂D^2 = S^1, ainsi S^1 est nul-cobordant. Dans la catégorie orientée, il faut vérifier la compatibilité des orientations.

Mauvaise application

Interpréter le cobordisme comme une homéomorphie ou une difféomorphie — des variétés cobordantes ne sont pas nécessairement homéomorphes ni difféomorphes ; le cobordisme est une équivalence plus faible qui autorise le passage par un interpolant de dimension n+1.

Conséquence

Les classes de cobordisme forment des groupes abéliens gradués sous l'union disjointe ; de nombreux invariants globaux (nombres de Stiefel–Whitney, nombres de Pontryagin dans les catégories appropriées) empêchent la nullité de cobordisme, de sorte que calculer le cobordisme apporte des informations profondes de classification.

Inversion

Le point de vue inverse met l'accent sur le fait d'être bord : une variété est nul-cobordante si elle apparaît comme le bord entier d'une variété compacte d'une dimension supérieure ; inverser la relation échange les rôles des deux composantes du bord de la variété de cobordisme.

Limite

Le cobordisme standard concerne des variétés fermées (compactes sans bord) ; il existe des variantes incluant le cobordisme avec bord, le cobordisme de variétés munies de structures supplémentaires (orientation, trivilisation, structure complexe), et le cobordisme relatif — chacune impose des restrictions additionnelles.

Tension sémantique

Cobordisme versus homologie ou équivalence d'homotopie : le cobordisme est indépendant du type d'homotopie simple et peut relier des variétés de types d'homotopie différents ; il est plus lâche que l'homéomorphisme mais plus fin que des relations insensées et interagit subtilement avec les classes caractéristiques.

Synthèse

Le cobordisme constate que deux variétés fermées de dimension n sont bordées par une même variété compacte de dimension n+1 ; c'est une relation d'équivalence sensible aux structures supplémentaires, donnant lieu à des invariants algébriques calculables et organisant la classification des variétés via des interpolants d'une dimension supérieure.