Una relación entre variedades cerradas de dimensión n: dos variedades cerradas M y N de dimensión n son cobordantes si existe una variedad compacta de dimensión n+1, W, cuyo borde es la unión disjunta ∂W ≅ M ⨿ N (teniendo en cuenta orientaciones en la categoría orientada).

Principio

El cobordismo organiza las variedades en clases de equivalencia al admitir una variedad de dimensión una mayor que 'interpola' entre ellas mediante su borde; es una relación de equivalencia y conduce a estructuras algebraicas (grupos de cobordismo) bajo la unión disjunta y la operación de borde.

Demostración

La circunferencia S^1 es cobordante con el vacío en dimensión 1 porque el disco D^2 es una variedad compacta de dimensión 2 con borde ∂D^2 = S^1, por lo que S^1 es nulo-cobordante. En la categoría orientada hay que comprobar la compatibilidad de las orientaciones.

Aplicación incorrecta

Interpretar cobordismo como homeomorfismo o difeomorfismo — las variedades cobordantes no tienen por qué ser homeomorfas ni difeomorfas; el cobordismo es una equivalencia más débil que permite el paso por un interpolante de dimensión n+1.

Consecuencia

Las clases de cobordismo forman grupos abelianos graduados bajo la unión disjunta; muchos invariantes globales (números de Stiefel–Whitney, números de Pontryagin en categorías apropiadas) obstruyen ser nulo-cobordante, de modo que calcular cobordismo aporta información profunda de clasificación.

Inversión

La visión inversa enfatiza ser borde: una variedad es nulo-cobordante si aparece como el borde total de una variedad compacta de dimensión superior; invertir la relación intercambia los papeles de las dos componentes del borde de la variedad de cobordismo.

Límite

El cobordismo estándar trata con variedades cerradas (compactas, sin borde); existen variantes que incluyen cobordismo con borde, cobordismo de variedades con estructuras adicionales (orientación, trivialización, estructura compleja), y cobordismo relativo — cada variante impone restricciones adicionales.

Tensión semántica

Cobordismo versus homología u equivalencia por homotopía: el cobordismo es independiente del tipo de homotopía simple y puede relacionar variedades con diferentes tipos de homotopía; es más grueso que el homeomorfismo pero más fino que relaciones ingenuas y interactúa sutilmente con clases características.

Síntesis

El cobordismo registra cuándo dos variedades cerradas de dimensión n tienen el mismo interpolante compacto de dimensión n+1 como borde; define una relación de equivalencia sensible a estructuras adicionales, da lugar a invariantes algebraicos calculables y organiza la clasificación mediante interpolantes de una dimensión superior.