Une famille continue à un paramètre de homemorphismes H_t : M → M, t ∈ [0,1], de l'espace ambiant M avec H_0 = id_M telle que H_1 transporte une immersion ou un sous-variété A ⊂ M sur une autre immersion ou sous-variété B ⊂ M. Deux immersions sont isotopes ambiantes si elles sont reliées par une telle famille.

Principe

L'isotopie ambiante réalise l'équivalence des immersions en déformant l'espace ambiant par des homemorphismes (ou difféomorphismes en catégorie lisse) reliés à l'identité ; l'objet immergé est déplacé par le mouvement ambiant plutôt que par une simple homotopie de l'application.

Démonstration

Deux immersions du cercle dans R^3 qui peuvent être amenées l'une sur l'autre par une famille continue de homemorphismes de R^3 appartiennent à la même classe d'isotopie ambiante ; en théorie des nœuds, l'isotopie ambiante distingue les plongements noués des plongements triviaux de S^1 dans R^3.

Mauvaise application

Confondre isotopie ambiante et homotopie point par point de l'application d'immersion (une isotopie d'applications) — une isotopie ambiante exige des homemorphismes de l'ensemble de l'espace ambiant à chaque instant, et non une simple homotopie de l'inclusion.

Conséquence

L'isotopie ambiante est une relation d'équivalence sur les immersions ; les invariants calculés à partir du complément ambiant (par exemple le groupe fondamental du complément en théorie des nœuds) sont préservés par isotopie ambiante, ce qui rend la notion centrale pour la classification.

Inversion

La notion converse est l'isotopie de l'immersion en tant qu'application dans la catégorie du sous-espace, où l'on fixe l'espace ambiant ensemblistement mais où les points de l'ambiant ne sont pas déplacés par des homemorphismes ; de telles isotopies peuvent être plus faibles ou incomparables.

Limite

Nécessite une variété ambiante (ou espace topologique/PL/lisse) admettant des familles continues d'auto-homéomorphismes ; exclut les déformations qui changeraient la topologie de l'ambiant ou les homotopies qui ne sont pas via homemorphismes/difféomorphismes.

Tension sémantique

Isotopie ambiante vs isotopie régulière ou concordance : l'isotopie ambiante déplace l'ensemble de l'espace ambiant et préserve donc le type d'immersion au sens géométrique le plus fort, tandis que d'autres notions peuvent autoriser des chirurgies, singularités ou seuls mouvements locaux.

Synthèse

L'isotopie ambiante est l'équivalence par mouvement ambiant des immersions : un chemin de homemorphismes de la variété ambiante partant de l'identité qui transporte une immersion en une autre, fournissant une classification géométrique qui préserve le contexte ambiant global.