Una familia continua de homeomorfismos H_t: M → M dependiente de un parámetro t ∈ [0,1] del espacio ambiente M con H_0 = id_M, tal que H_1 lleva una incrustación o subvariedad A ⊂ M a otra B ⊂ M. Dos incrustaciones son isotópicas ambientalmente si están relacionadas por tal familia.

Principio

La isotopía ambiental realiza la equivalencia de incrustaciones deformando el espacio ambiente mediante homeomorfismos (o difeomorfismos en la categoría lisa) conectados con la identidad, de modo que el objeto incrustado se mueve por el movimiento del ambiente y no solo por una homotopía del mapa.

Demostración

Dos incrustaciones del círculo en R^3 que puedan ser llevadas una a otra por una familia continua de homeomorfismos de R^3 pertenecen a la misma clase de isotopía ambiental; en teoría de nudos, la isotopía ambiental es la noción que diferencia incrustaciones anudadas de no anudadas de S^1 en R^3.

Aplicación incorrecta

Confundir isotopía ambiental con una homotopía puntual de la incrustación (una isotopía de mapas) — la isotopía ambiental exige homeomorfismos de todo el espacio ambiente en cada instante, no solamente una homotopía de la inclusión.

Consecuencia

La isotopía ambiental es una relación de equivalencia sobre incrustaciones; los invariantes calculados a partir del complemento ambiente (por ejemplo, el grupo fundamental del complemento en teoría de nudos) se preservan bajo isotopía ambiental, lo que hace la relación central en problemas de clasificación.

Inversión

La noción inversa es una isotopía de la incrustación como mapa en la categoría de subespacios, donde el espacio ambiente se mantiene fijo como conjunto pero los puntos del ambiente no son movidos por homeomorfismos; tales isotopías pueden ser estrictamente más débiles o no comparables.

Límite

Requiere una variedad ambiente (o espacio topológico/PL/liso) que admita familias continuas de auto-homeomorfismos; excluye deformaciones que cambien la topología del ambiente o homotopías que no sean a través de homeomorfismos/difeomorfismos.

Tensión semántica

Isotopía ambiental vs isotopía regular o concordancia: la isotopía ambiental mueve todo el espacio ambiente y por tanto preserva el tipo de incrustación en el sentido geométrico más fuerte, mientras que otras nociones pueden permitir cirugías, singularidades o solo movimientos locales.

Síntesis

La isotopía ambiental es la equivalencia por movimiento ambientale de incrustaciones: un camino de homeomorfismos de la variedad ambiente que parte de la identidad y transporta una incrustación a otra, proporcionando una clasificación geométrica que preserva el contexto ambiente global.