Une application continue f : X → Y est une équivalence d'homotopie s'il existe g : Y → X continue telle que g ∘ f est homotope à id_X et f ∘ g est homotope à id_Y ; on dit alors que X et Y ont le même type d'homotopie.

Principe

Saisir l'identité des espaces à la notion de déformation continue plutôt qu'à celle d'homéomorphisme : une inverse d'homotopie montre que deux espaces ont un comportement de mappage équivalent pour les objectifs de la théorie de l'homotopie.

Démonstration

Un rétracte par déformation r : X → A (avec inclusion i : A → X) satisfait i ∘ r homotope à id_X et r ∘ i = id_A, donc l'inclusion d'un rétracte par déformation est une équivalence d'homotopie ; par exemple un CW‑complexe est souvent homotope à un sous‑complexe rétracte par déformation.

Mauvaise application

Confondre équivalence d'homotopie et équivalence d'homotopie faible (cette dernière exige seulement des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie) ou avec équivalence d'homologie ; une équivalence faible n'admet pas nécessairement d'inverse d'homotopie sans hypothèses supplémentaires (CW, espaces simples, conditions du théorème de Whitehead).

Conséquence

Des espaces homotopiquement équivalents ont des groupes d'homotopie isomorphes, des anneaux de cohomologie singulière isomorphes sous hypothèses raisonnables, et sont interchangeables en théorie de l'homotopie et pour de nombreux problèmes de classification ; les calculs se transfèrent le long de l'équivalence.

Inversion

Abandonner l'exigence d'inverses d'homotopie donne des notions plus faibles (équivalence d'homotopie faible, équivalence d'homologie) qui préservent moins d'information ; exiger un homéomorphisme ou un difféomorphisme donne une relation strictement plus forte et plus rigide géométriquement.

Limite

La définition suppose l'existence d'inverses d'homotopie continues ; en pratique on se limite souvent à des catégories bien comportées (CW complexes, espaces de Hausdorff compactement engendrés) pour éviter les pathologies. Le théorème de Whitehead relie équivalences d'homotopie faibles et équivalences d'homotopie sous hypothèses CW/simplicité d'homotopie.

Tension sémantique

La tension principale est entre équivalence d'homotopie et équivalence d'homotopie faible : elles coïncident dans de nombreuses catégories commodes (par ex. CW) mais divergent en général ; il existe aussi une tension avec l'homéomorphisme (plus fort) et l'équivalence d'homologie (plus faible).

Synthèse

L'Équivalence d'Homotopie est la notion précise disant que deux espaces sont identiques pour la théorie de l'homotopie : l'existence de flèches mutuelles dont les compositions sont homotopes aux identités assure le transfert des invariants d'homotopie et permet de remplacer des espaces par des modèles plus simples, sous réserve de travailler dans une catégorie topologique appropriée.