Un mapa continuo f: X → Y es una equivalencia homotópica si existe un mapa continuo g: Y → X tal que g ∘ f es homotópico a id_X y f ∘ g es homotópico a id_Y; entonces se dice que X e Y tienen el mismo tipo homotópico.

Principio

Capturar la 'igualdad' de espacios a través de deformaciones continuas en lugar de homeomorfismos: una inversa homotópica exhibe que dos espacios son equivalentes desde el punto de vista de la teoría de la homotopía en cuanto a su comportamiento de mapeo.

Demostración

Un retracción por deformación r: X → A (con inclusión i: A → X) satisface i ∘ r homotópico a id_X y r ∘ i = id_A, por lo que la inclusión de un retracción por deformación es una equivalencia homotópica; por ejemplo, un complejo CW puede ser homotópicamente equivalente a un subcomplejo retráctil.

Aplicación incorrecta

Confundir equivalencia homotópica con equivalencia homotópica débil (esta última exige solo isomorfismos en todos los grupos de homotopía) o con equivalencia por homología; una equivalencia débil puede no admitir una inversa homotópica real sin hipótesis adicionales (CW, espacios simples, condiciones del teorema de Whitehead).

Consecuencia

Los espacios homotópicamente equivalentes tienen grupos de homotopía isomorfos, anillos de cohomología singular isomorfos bajo hipótesis razonables, y pueden sustituirse entre sí en teoría de la homotopía y en muchos problemas de clasificación; los cálculos se transfieren a través de la equivalencia.

Inversión

Abandonar la exigencia de inversas homotópicas conduce a nociones más débiles (equivalencia homotópica débil, equivalencia por homología) que preservan menos información; exigir un homeomorfismo o difeomorfismo da una relación estrictamente más fuerte y rígida geométricamente.

Límite

La definición presupone la existencia de inversas homotópicas continuas; en la práctica se suele trabajar en categorías bien comportadas (complejos CW, espacios de Hausdorff compactamente generados) para evitar patologías. El teorema de Whitehead relaciona equivalencias homotópicas débiles con equivalencias homotópicas en el contexto CW.

Tensión semántica

La tensión principal es entre equivalencia homotópica y equivalencia homotópica débil: coinciden en muchas categorías convenientes pero difieren en general; también hay tensión con homeomorfismo (más fuerte) y equivalencia por homología (más débil).

Síntesis

Una Equivalencia Homotópica es la noción precisa de que dos espacios son idénticos a efectos homotópicos: la existencia de mapas mutuos cuyas composiciones son homotópicas a las identidades asegura la transferencia de invariantes de homotopía y permite reemplazar espacios por modelos más simples, siempre que se opere en una categoría topológica adecuada.